今回は，2つの物体の運動エネルギーの和を重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーに分けることについて考えていきたいと思います．
質量$m_{1}$，速度$v_{1}$の物体1と質量$m_{2}$，速度$v_{2}$の物体2の運動エネルギーの和$K$は
$K=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$
であり，重心速度$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$，物体1に対する物体2の相対速度$v_{\rm r}=v_{2}-v_{1}$を用いると，運動エネルギー$K$は次のように変形できる．
$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}$
こんな変形をしてなにかメリットあるの？
特に重心速度$v_{\rm G}$が$0$のときや，外力がはたらかず，$v_{\rm G}$=一定になるような計算をする際には便利です．
具体的な例題は最後にやってみたいと思います．
重心速度
質量$m_{1}$，速度$v_{1}$の物体1と質量$m_{2}$，速度$v_{2}$の物体2について，物体1と物体2の重心速度は
$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
だったね．
詳しくは下の記事を参考にしてみてください．
相対速度
物体1に対する物体2の速度$v_{\rm r}$は
$v_{\rm r}=v_{2}-v_{1}$
だったね．
導出
$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}\textcolor{blue}{v_{1}}+m_{2}\textcolor{green}{v_{2}}}{m_{1}+m_{2}} \cdots (\ast)$，と $v_{\rm r}=\textcolor{green}{v_{2}}-\textcolor{blue}{v_{1}} \cdots (2\ast)$より，$\textcolor{blue}{v_{1}}$と$\textcolor{green}{v_{2}}$それぞれを$v_{\rm G}，v_{\rm r}$を用いて表します．
$(2\ast)$より，$\textcolor{green}{v_{2}}=v_{\rm r}+\textcolor{blue}{v_{1}} \cdots (3\ast)$と変形して，これを$(\ast)$に代入します．
\begin{align*} v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}\textcolor{blue}{v_{1}}+m_{2}(v_{\rm r}+\textcolor{blue}{v_{1}}) }{m_{1}+m_{2} } \end{align*} 両辺$(m_{1}+m_{2})$をかけて，左辺と右辺を逆にすると \begin{align*} m_{1}\textcolor{blue}{v_{1}}+m_{2}(v_{\rm r}+\textcolor{blue}{v_{1}})=(m_{1}+m_{2})v_{\rm G} \end{align*} 左辺の$\textcolor{blue}{v_{1}}$を共通因数でくくり，$m_{2}v_{\rm r}$を右辺に移項して \begin{align*} (m_{1}+m_{2})\textcolor{blue}{v_{1}}=(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}-m_{2}v_{\rm r} \end{align*} 両辺$(m_{1}+m_{2})$で割って \begin{align*} \textcolor{blue}{v_{1}}=v_{\rm G}-\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r} \cdots (4\ast) \end{align*} $(4\ast)$を$(3\ast)$に代入して$\textcolor{green}{v_{2}}$を求める． \begin{align*} \textcolor{green}{v_{2}}&=v_{\rm r}+\textcolor{blue}{v_{1}}\\ &=v_{\rm r}+v_{\rm G}-\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}\\ &=v_{\rm G}+\left(1-\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \right)v_{\rm r}\\ &=v_{\rm G}+\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r} \cdots (5\ast) \end{align*} $(4\ast)$の$\textcolor{blue}{v_{1}}=v_{\rm G}-\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}$と$(5\ast)$の$\textcolor{green}{v_{2}}=v_{\rm G}+\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}$を運動エネルギーの和の式$K=\dfrac{1}{2}m_{1}\textcolor{blue}{v_{1}}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}\textcolor{green}{v_{2}}^{2}$に代入すると \begin{align*} K&=\dfrac{1}{2}m_{1}\textcolor{blue}{v_{1}}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}\textcolor{green}{v_{2}}^{2}\\ &=\dfrac{1}{2}m_{1}\left(v_{\rm G}-\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r} \right)^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}\left(v_{\rm G}+\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}\right)^{2}\\ &=\dfrac{1}{2}m_{1}\left\{v_{\rm G}^{2}-\dfrac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}v_{\rm G}+\left(\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \right)^{2}v_{\rm r}^{2} \right\}+\dfrac{1}{2}m_{2}\left\{v_{\rm G}^{2}+\dfrac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}v_{\rm G}+\left(\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \right)^{2}v_{\rm r}^{2} \right\}\\ &=\dfrac{1}{2}\left\{(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}\bcancel{-\dfrac{2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}v_{\rm G}+ \dfrac{2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}v_{\rm G}}+\dfrac{m_{1}m_{2}\cancel{(m_{1}+m_{2})}}{(m_{1}+m_{2})^{\cancel{2}}}v_{\rm r}^{2} \right\}\\ &=\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}} \end{align*}
以後，$K_{\rm G}=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}$を重心の運動エネルギー，$K_{\rm r}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}$を相対運動の運動エネルギーと呼びましょう．
例題
それでは，例題を解いていきたいと思います．
重心に関する知識は以下の記事を参考にしてください．
水平でなめらかな床の上に十分長い板が置いてある．水平な板の上面に物体が置かれている．ある時刻で物体のみに大きさ$v_{0}$の初速度を図の水平右方向に与えたところ，台は右方向に運動をはじめた．しばらくすると板と台は同じ速度になった．物体の質量を$m$，台の質量を$M$，重力加速度の大きさを$g$，台と物体の間の動摩擦係数を$\mu$とする．板と床の間には摩擦力ははたらかず，空気抵抗は無視をする．物体に初速度を与えられてから台と同じ速度になるまでに物体が板上を移動した距離$l$を$m，M，g，\mu$を用いて表せ．
<解答>
上のように，物体と台にはたらく水平方向の力は動摩擦力のみで，その和は$0$になる．よって，重心速度$\dfrac{M\times 0+mv_{0}}{M+m}=\dfrac{m}{M+m}v_{0}$は変化しない．
物体が初速度を与えれらた直後の台に対する物体の速度は$v_{0}-0=v_{0}$，台と物体が同じ速度になったときの台に対する物体の速度は$0$．
初速度を与えられたときの物体と台の運動エネルギーの和を$K$，物体と台が同じ速度になったときの運動エネルギーの和を$K’$とする．
物体と台の運動エネルギーの和を重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーに分けた式は
\begin{align*} &K=\overbrace{\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}}^{重心の運動エネルギー}+\overbrace{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}}^{相対運動の運動エネルギー}\\ &K’=\overbrace{\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}}^{重心の運動エネルギー}+\overbrace{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}\cdot 0^{2}}^{相対運動の運動エネルギー}\\ &\therefore K’-K=-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2} \end{align*}
力学的エネルギー変化と非保存力がした仕事の関係の式より
\begin{align*} &K’-K=-\mu mg l\\ &\therefore -\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}=-\mu mgl\\ &\therefore l=\textcolor{red}{\dfrac{Mv_{0}^{2}}{2\mu (M+m)g} } \end{align*}
コメント