重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの利用の練習問題です．
説明は次の記事を見てください．
水平でなめらかな床の上に，質量$m$と質量$M$の物体が置かれている．質量$m$に速さ$v_{0}$の速度を与え，静止している質量$M$の物体と衝突した．その後，2つの物体は同じ速度で運動をした．この衝突によって，2物体の力学的エネルギーの和は$|\varDelta E|$失われた．$|\varDelta E|$を$M，m，v_{0}$を用いて表せ．
質量$m_{1}$，速度$v_{1}$の物体1と質量$m_{2}$，速度$v_{2}$の物体2の運動エネルギーの和$K$は
$K=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$
であり，重心速度$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$，物体1に対する物体2の相対速度$v_{\rm r}=v_{2}-v_{1}$を用いると，運動エネルギー$K$は次のように変形できる．
$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}$
<解答>
質量$m$，$M$の物体にはたらく水平方向の和は常にゼロ．(衝突の際にも作用反作用の力しかはたらいていない)よって，2つの物体の重心速度は変化せず，重心の運動エネルギーは変化しない．
運動エネルギーの和は重心の運動エネルギーと相対運動のエネルギーに分けることができるが，重心の運動エネルギーは変化しないので，変化したのは相対運動の運動エネルギーである．
衝突前の質量$M$の物体からみた質量$m$の相対速度は$v_{0}$なので，相対運動の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}$
であり，衝突後は速度が同じになるので，相対速度は$0$．つまり，相対運動の運動エネルギーは$0$
よって，衝突によって失われた運動エネルギーの和は
$|\varDelta E|=\left|0- \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}\right|=\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}}$
<別解> 普通の解き方
衝突後の速度を$V$とすると，運動量保存則より
$mv_{0}+0=(M+m)V \,\,\therefore V=\dfrac{m}{M+m}v_{0}$
よって，失われた運動の運動エネルギーの和は
$|\varDelta E|=\left|\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2} \right|=\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}}$
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