重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの利用2

NEKO

重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの利用の練習問題です．

説明は次の記事を見てください．

問題

　水平でなめらかな床の上に，質量$m_{1}$と質量$m_{2}$の物体が置かれている．以下，速度の正の方向は図の右向きである．質量$m_{1}$に速度$v_{1}$，質量$m_{2}$の速度$v_{2}$を与えたところ，2つの物体は衝突した．2つの物体が衝突する際の反発係数を$e\,(0<e<1)$とする．この衝突によって，2つの物体が失われる運動エネルギー$|\varDelta E|$を$m_{1}，m_{2}，v_{1}，v_{2}，e$を用いて表せ．

<解答>

運動エネルギーの変形

質量$m_{1}$，速度$v_{1}$の物体1と質量$m_{2}$，速度$v_{2}$の物体2の運動エネルギーの和$K$は

$K=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$

であり，重心速度$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$，物体1に対する物体2の相対速度$v_{\rm r}=v_{2}-v_{1}$を用いると，運動エネルギー$K$は次のように変形できる．

$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}$

質量$m_{1}$，$m_{2}$の物体にはたらく水平方向の和は常にゼロ．(衝突の際にも作用反作用の力しかはたらいていない)よって，2つの物体の重心速度は変化せず，重心の運動エネルギーは変化しない．

運動エネルギーの和は重心の運動エネルギーと相対運動のエネルギーに分けることができるが，重心の運動エネルギーは変化しないので，変化したのは相対運動の運動エネルギーである．

衝突前の質量$m_{2}$の物体からみた質量$m_{1}$の相対速度は$v_{1}-v_{2}$なので，相対運動の運動エネルギーは

$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2} }{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}　\cdots (\ast)$

また，反発係数の式は次のようなものであるが，これは

はねかえり係数の式

衝突前の物体の速度を$v_{1}$，$v_{2}$，衝突後の速度を$v_{1}^{\prime}$，$v_{2}^{\prime}$とするとき，はねかえり係数（反発係数）の式を次のように定義する．

$e=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$

$e=1$のときを弾性衝突といい，力学的エネルギーが保存する．

また，$e=0$のときを完全非弾性衝突という．

$(衝突後の相対速度)=-e\times (衝突前の相対速度)$

なので，衝突後の質量$m_{2}$の物体からみた質量$m_{1}$の相対速度は$-e(v_{1}-v_{2})$なので，相対運動の運動エネルギーは

$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2} }{m_{1}+m_{2}}\cdot \left\{-e(v_{1}-v_{2})\right\}^{2}=\dfrac{e^{2}}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2} }{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}　\cdots (2\ast)$

よって，失われた力学的エネルギーは$(\ast)，(2\ast)$より，

$|\varDelta E|=\left|\dfrac{e^{2}}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2} }{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2} }{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}\right|=\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}(1-e^{2})}$

<別解>

運動量保存則と反発係数の式より，衝突後の質量$m_{1}，m_{2}$の物体の速度$v_{1}’，v_{2}’$を求める．

運動量保存則より

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}\textcolor{blue}{v_{1}’}+m_{2}\textcolor{green}{ v_{2}’}　\cdots (3\ast)$

反発係数の式より

$e=-\dfrac{\textcolor{blue}{v_{1}’}-\textcolor{green}{v_{2}’}}{v_{1}-v_{2}}　\cdots (4\ast)$

$(3\ast)，(4\ast)$より，$\textcolor{blue}{v_{1}’}，\textcolor{green}{v_{2}’}$を求める．

$(4\ast)$より，$\textcolor{green}{v_{2}’}=\textcolor{blue}{v_{1}’}+e(v_{1}-v_{2})　\cdots (5\ast)$．$(5\ast)$を$(3\ast)$に代入する．

\begin{align*} &m_{1}\textcolor{blue}{v_{1}’}+m_{2}\{\textcolor{blue}{v_{1}’}+e(v_{1}-v_{2})\}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\ &\therefore　(m_{1}+m_{2})\textcolor{blue}{v_{1}’}=(m_{1}-em_{2})v_{1}+(1+e)m_{2}v_{2}\\ &\therefore　\textcolor{blue}{v_{1}’}=\dfrac{(m_{1}-em_{2})v_{1}+(1+e)m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{align*} $(5\ast)$より \begin{align*} \textcolor{green}{v_{2}’}&=\textcolor{blue}{v_{1}’}+e(v_{1}-v_{2})\\ &=\dfrac{(m_{1}-em_{2})v_{1}+(1+e)m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}+e(v_{1}-v_{2})\\ &=\dfrac{(1+e)m_{1}v_{1}-(em_{1}-m_{2})v_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{align*} 衝突前の運動エネルギーの和$E$は \begin{align*} E=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}　\cdots (6\ast) \end{align*} 衝突後の運動エネルギーの和$E’$は \begin{align*} E’&=\dfrac{1}{2}m_{1}\textcolor{blue}{v_{1}’}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}\textcolor{green}{v_{2}’}^{2}\\ &=\dfrac{1}{2}m_{1}\left\{ \dfrac{(m_{1}-em_{2})v_{1}+(1+e)m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right\}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}\left\{\dfrac{(1+e)m_{1}v_{1}-(em_{1}-m_{2})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right\}^{2}\\ &=\dfrac{1}{2(m_{1}+m_{2})}\left\{m_{1}(m_{1}+m_{2}e^{2})v_{1}^{2}+2m_{1}m_{2}(1-e^{2})v_{1}v_{2}+m_{2}(m_{2}+m_{1}e^{2})v_{2}^{2} \right\}　\cdots (7\ast) \end{align*} $(6\ast)$と$(7\ast)$より \begin{align*} |\varDelta E|&=E-E’\\ &=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}\\ &-\dfrac{1}{2(m_{1}+m_{2})}\left\{m_{1}(m_{1}+m_{2}e^{2})v_{1}^{2}+2m_{1}m_{2}(1-e^{2})v_{1}v_{2}+m_{2}(m_{2}+m_{1}e^{2})v_{2}^{2} \right\}\\ &=\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}(1-e^{2})} \end{align*}