重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの利用の練習問題です．
説明は次の記事を見てください．
水平でなめらかな床の上に質量$M$の台が置かれている．台は左右対称で，中心がOの，半径$R$の半円形状のなめらかなすべり面でできている．曲面の最下点Aに質量$m$の物体を置き，物体と台が静止した状態から物体のみに大きさ$v_{0}$の初速度を水平右向きに与えた．その後，物体は曲面をのぼり，それとともに台は右方向へ運動した．物体がOと同じ高さのBに達したときの物体の鉛直速度の大きさを$M，m，v_{0}，g，R$を用いて表せ．ただし，$g$は重力加速度の大きさである．
<解答>
質量$m_{1}$，速度$v_{1}$の物体1と質量$m_{2}$，速度$v_{2}$の物体2の運動エネルギーの和$K$は
$K=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$
であり，重心速度$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$，物体1に対する物体2の相対速度$v_{\rm r}=v_{2}-v_{1}$を用いると，運動エネルギー$K$は次のように変形できる．
$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}$
速度を$(水平右向き速度，鉛直上向きの速度)$でかく．すると，床で静止した観測者からみた物体の速度は$(v_{0}，0)$，台の速度は$(0，0)$なので，台からみた物体の速度は$(v_{0}，0)$となる．すると，物体と台の重心速度は
$\left(\dfrac{M\times 0+m\times v_{0}}{M+m}，\dfrac{M\times 0+m\times 0}{M+m} \right)=\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0}，0 \right)$
よって，重心の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}$
で相対運動の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}$
よって，物体がAにあるときの物体と台の運動エネルギーの和は
$\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}$ $\cdots (\ast)$
また，物体がBにきたとき，台からみると，物体の水平速度は$0$である．鉛直速度を$v_{y}$とする．すると，台からみた物体の速度は$(0，v_{y})$となる．このときの台の速度を$(V，0)$とすると，床で静止した観測者からみた物体の速度は$(V，v_{y})$となる．このとき，物体と台の重心速度は
$\left(\dfrac{MV+mv}{M+m}，\dfrac{M\times 0+m\times v_{y}}{M+m} \right)=\left(V，\dfrac{m}{M+m}v_{y}\right)$
となる．重心の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}(M+m)\left\{ V^{2}+\left(\dfrac{m}{M+m}v_{y}\right)^{2}\right\}$
水平方向の運動量保存則より，$mv_{0}=(M+m)V$だから，$V=\dfrac{m}{M+m}v_{0}$を代入して
\begin{align*} &\dfrac{1}{2}(M+m)\left\{ V^{2}+\left(\dfrac{m}{M+m}v_{y}\right)^{2}\right\}\\ &=\dfrac{1}{2}(M+m)V^{2}+\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{y}\right)^{2}\\ &=\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}+\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{y}\right)^{2} \end{align*}
相対運動の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{y}^{2}$
よって，物体がBにきたときの物体と台の運動エネルギーの和は
$\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}+\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{y}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{y}^{2}$ $\cdots (2\ast)$
$(\ast)，(2\ast)$を用いて，台と物体の力学的エネルギー保存則を立てる．物体がAにあるところを重力による位置エネルギーの基準点とすると，Bでの位置エネルギーは$mgR$より
\begin{align*} &\cancel{\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}\\ &=\cancel{\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}}+\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{y}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{y}^{2}+mgR \end{align*}
このとき，右辺は
\begin{align*} &\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{y}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{y}^{2}+mgR=\dfrac{1}{2}mv_{y}^{2}+mgR \end{align*}
より
$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{y}^{2}+mgR$ $\therefore v_{y}=\textcolor{red}{\sqrt{\dfrac{M}{M+m}v_{0}^{2}-2gR }}$
＜別解＞
力学的エネルギー保存則より
$\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}m(V^{2}+v_{y}^{2})+\dfrac{1}{2}MV^{2}+mgR \cdots (3\ast)$
また，水平方向の運動量保存則より
$mv_{0}=(M+m)V$ $\therefore V=\dfrac{m}{M+m}v_{0} \cdots (4\ast)$
$(4\ast)$を$(3\ast)$に代入して$v_{y}$を求めると
\begin{align*} v_{y}=\textcolor{red}{\sqrt{\dfrac{M}{M+m}v_{0}^{2}-2gR }} \end{align*}
今回は<解答>でも<別解>でも同じくらいの計算量だったね．
鉛直速度がある場合，重心の速度が変化することが多いので，注意して計算しましょう．
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