重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの利用の練習問題です．
説明は次の記事を見てください．
水平でなめらかな床の上に，質量$m$の物体と質量$M$がおかれており，ばね定数$k$の軽いばねでつながれている．両物体が静止していてばねが自然長の状態で，質量$m$の物体のみに水平初速度$v_{0}$を与えたところ，ばねが伸び縮みしながら両物体が運動をした．ばねが最も伸びているときのばねの自然長からの伸び$l$を$m，M，v_{0}，k$を用いて表せ．
<解答>
質量$m_{1}$，速度$v_{1}$の物体1と質量$m_{2}$，速度$v_{2}$の物体2の運動エネルギーの和$K$は
$K=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$
であり，重心速度$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$，物体1に対する物体2の相対速度$v_{\rm r}=v_{2}-v_{1}$を用いると，運動エネルギー$K$は次のように変形できる．
$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}$
初速度が与えられた直後の重心速度は
$\dfrac{M\times 0+mv_{0}}{M+m}=\dfrac{m}{M+m}v_{0}$
なので，重心の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}$
であり，相対運動の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}$
よって，はじめの両物体の運動エネルギーの和を重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの和で表すと
$\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2} \cdots (\ast)$
2つの物体にはたらく水平方向の力の和はゼロなので，重心加速度はゼロ．つまり，重心速度は変化しないので，重心の運動エネルギーも変化しない．よって，ばねが最も伸びているときの重心の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}$
であり，相対速度がゼロなので相対運動の運動エネルギーは，$0$．よって，ばねが最も伸びているときの両物体の運動エネルギーの和を重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの和で表すと
$\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}+0 \cdots (2\ast)$
$(\ast)，(2\ast)$を用いて力学的エネルギー保存則を立てると
\begin{align*} &\cancel{\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2}+0=\cancel{\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0} \right)^{2}}+0+\dfrac{1}{2}kl^{2}\\ &\therefore \dfrac{1}{2}kl^{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{Mm}{M+m}v_{0}^{2} \therefore l=\textcolor{red}{v_{0}\sqrt{ \dfrac{Mm}{k(M+m)}}} \end{align*}
<別解>
ばねが最も伸びたときの床で静止した人からみた2つの物体の速度を$V$として，運動量保存則と力学的エネルギー保存則より
\begin{align*} \begin{cases} mv_{0}=(M+m)V &\cdots (3\ast)\\ \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}(M+m)V^{2}+\dfrac{1}{2}kl^{2} &\cdots (4\ast) \end{cases} \end{align*} $(3\ast)，(4\ast)$を解いて， \begin{align*} l=\textcolor{red}{v_{0}\sqrt{ \dfrac{Mm}{k(M+m)}}} \end{align*}
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