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2020.09.05

質量$m$と質量$M$の重心間の距離を$r$とする．万有引力定数を$G$とすると，万有引力の大きさ$F$は

$F=G\dfrac{Mm}{r^2}$

となります．

<解答>

(1)　位置$0\leqq x\leqq R$にいる物体があるときは上図の黒色塗り部分の質量$M^{\prime}$の万有引力しかはたらきません．質量は体積に比例するので

$\eqalign{M:M^{\prime}&=\dfrac{4\pi R^3}{3}:\dfrac{4\pi |x|^3}{3}\cr M:M^{\prime}&=R^3: |x|^3\cr M^{\prime}&=\dfrac{|x|^3}{R^3}M\cr M^{\prime}&=\dfrac{x^3}{R^3}M}$

最後の式変形では，$x>0$であることから，$|x|=x$と絶対値をはずしました．

さて，求めるのは”万有引力”です．“万有引力の大きさ”ではありません．$x\leq 0$のときは，万有引力は惑星Xの中心である$x$軸の負の向きにかかることに注意して，万有引力$F_{+}$は

$\eqalign{F_{+}&=-G\dfrac{M^{\prime}m}{x^2}=-G\cdot \dfrac{x^3}{R^3}M \cdot \dfrac{m}{x^2}&=-\dfrac{GMm}{R^3}x}$

したがって，求める力は$F_{+}=-\dfrac{GMm}{R^3}x$となります．

(2)　$-R\leqq x\leqq 0$のときは質量$M^{\prime}$は

$M^{\prime}=\dfrac{|x|^3}{R^3}M=-\dfrac{x^3}{R^3}M$

となります．$x<0$のとき，$|x|=-x$となるからですね．

$x<0$における万有引力は$x$軸の正の向きなので，求める力$F_{-}$は

$\eqalign{F_{-}&=G\dfrac{M^{\prime}m}{x^2}=G\cdot (-\dfrac{x^3}{R^3}M) \cdot \dfrac{m}{x^2}&=-\dfrac{GMm}{R^3}x}$

したがって，求める力は$F_{-}=-\dfrac{GMm}{R^3}x$となります．

(3)　(1)，(2)より，位置$x$における運動方程式は

$ma=-\dfrac{GMm}{R^3}x$

(4)　(3)の運動方程式より，振動の中心は$x_{0}=0$，角振動数は$\omega=\sqrt{\dfrac{GM}{R^3}}$，周期は$T=2\pi \sqrt{\dfrac{R^3}{GM}}=2\pi R\sqrt{\dfrac{R}{GM}}$です．また，$x=R$で速度0からスタートするので，この場所が上端，中心が$x=0$なので，上端と中心との距離は$R$となります．これが振幅ですね．$A=R$

(5)　$x=R$から速度0でスタートして，$x$軸の負の方向にいくので，$\cos$型です．

$\eqalign{x&=x_{0}+A\cos \omega t \\&=R\cos \sqrt{\dfrac{GM}{R^3}}t}$　

(6)　単振動のエネルギー保存で解いてみましょう．

$ma=-\dfrac{GMm}{R^3}x$

を変形して

$\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{GMm}{R^3}x^2=$一定

です．$x=R$のとき，$v=0$であって，中心である$x=0$のときの速さを$v=V$とすると上式より

$\eqalign{\dfrac{1}{2}m\cdot 0^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{GMm}{R^3}R^2&=\dfrac{1}{2}mV^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{GMm}{R^3}\cdot 0^2\cr \dfrac{1}{2}mV^2&=\dfrac{1}{2}\dfrac{GMmR^2}{R^3}\cr V^2&=\dfrac{GM}{R} \cr V&=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}}$

したがって，求める速さは$V=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$です．