重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの利用の練習問題です．
説明は次の記事を見てください．
上図のように，水平でなめらかな床の上に質量$M$の台がおかれている．台には，軽くて変形しない棒が固定されており，棒の上端$\rm O$には長さ$l$の軽くて伸びない糸がとりつけられている．この糸の他端には，質量$m$の物体がとりつけられている．
糸を張り，$\rm O$と同じ高さまでもってきて台と物体を静止させた状態から，物体を静かにはなすと物体と台は運動をはじめた．ただし，台は床から離れず，物体は同一円直面内を運動する．重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ．また，速度の向きは上図の右向きとする．
このとき，物体がはじめて最下点に達したときの物体の速度$v$と台の速度$V$をそれぞれ，$m$，$M$，$g$，$l$を用いて表せ．
質量$m_{1}$，速度$v_{1}$の物体1と質量$m_{2}$，速度$v_{2}$の物体2の運動エネルギーの和$K$は
$K=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$
であり，重心速度$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$，物体1に対する物体2の相対速度$v_{\rm r}=v_{2}-v_{1}$を用いると，運動エネルギー$K$は次のように変形できる．
$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}$
物体と台には水平方向の外力がはたらいておらず，水平方向の重心速度は常にゼロである．
まず，運動を開始した直後の物体と台の速度はともにゼロなので，運動エネルギーの和は$0$（どちらの速度もゼロなので，重心速度もゼロ）
次に，物体が最下点にきたときの台に対する物体の水平速度を$u$とする．重心速度はゼロなので，重心運動の運動エネルギーは$0$．相対運動の運動エネルギーは
$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}u^{2}$
よって，最下点にきたときの運動エネルギーを重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーによって表すと
$0+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}u^{2}$
よって，力学的エネルギー保存則より
$mgl=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}u^{2}$
$\therefore\,\, u=\sqrt{\dfrac{2(M+m)}{M}gl }$
最下点にきたときの台の速度を$V$とすると，物体の速度$v$は台に対する物体の速度$u=\sqrt{\dfrac{2(M+m)}{M}gl }$を用いて
$v=V+u=V+\sqrt{\dfrac{2(M+m)}{M}gl }$ $\cdots (\ast)$
水平方向の運動量保存則より
$0=mv+MV$ $\cdots (2\ast)$
$(\ast)$を代入して
\begin{align*} &0=m\left(V+\sqrt{\dfrac{2(M+m)}{M}gl }\right)+MV\\ &\therefore\,\, V=\textcolor{red}{-m\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)} }} \end{align*} また，$(2\ast)$より \begin{align*} &v=-\dfrac{M}{m}V=\textcolor{red}{M\sqrt{\dfrac{2gl}{M(M+m)} }} \end{align*}
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