重心の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーの利用の練習問題です．
説明は次の記事を見てください．
上図(a)のように，水平で滑らかな床の上に質量$M$半球がおかれている．半球の中心はOで，半径は$R$である．半球上の最高点Aに質量$m$の物体をおくと，初速度0で物体が動き始めて，それとともに半球も運動を開始した．物体が図(b)のように半球上のBにあるときの半球からみた物体の速さ$u$を$M，m，\theta，g，R$を用いて表せ．ただし，$\angle{\rm AOB}=\theta$である．また，重力加速度の大きさを$g$とする．
<解答>
質量$m_{1}$，速度$v_{1}$の物体1と質量$m_{2}$，速度$v_{2}$の物体2の運動エネルギーの和$K$は
$K=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$
であり，重心速度$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$，物体1に対する物体2の相対速度$v_{\rm r}=v_{2}-v_{1}$を用いると，運動エネルギー$K$は次のように変形できる．
$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v_{\rm r}^{2}$
速度成分を$(水平右方向成分，鉛直下向き成分)$で表す．
床からみた半球の速度を$(V，0)$とする．
半球からみた物体の速さ$u$を用いると，半球からみた物体の速度は$(u\cos\theta，u\sin\theta)$．
すると床からみた物体の速度$(v_{x}，v_{y})$は
$(v_{x}，v_{y})=(V，0)+(u\cos\theta，u\sin\theta)=(V+u\cos\theta，u\sin\theta)$
となる．まず，図(a)において，半球と物体の水平方向の重心速度は$0$であり，半球と物体にはたらく水平方向の力の和は$0$なので，(b)における半球と物体の水平方向の重心速度も$0$．
さらに，(b)における鉛直方向の重心速度は
$\dfrac{M\times 0+mv_{y}}{M+m}=\dfrac{mu\sin\theta}{M+m}$
よって，(b)での重心の運動エネルギー$K_{\rm bg}$は
$K_{\rm bg}=\dfrac{1}{2}(M+m)\left\{0^{2}+\left( \dfrac{mu\sin\theta}{M+m}\right)^{2} \right\}=\dfrac{m^{2}u^{2}\sin^{2}\theta}{2(M+m)}$
また，(b)での相対運動の運動エネルギー$K_{\rm br}$は
$K_{\rm br}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}u^{2}$
球と物体の運動エネルギー$K_{\rm b}$は重心の運動エネルギー$K_{\rm bg}$と相対運動の運動エネルギー$K_{\rm br}$に分けることができるので，
\begin{align*} K_{\rm b}&=K_{\rm bg}+K_{\rm br}\\ &=\dfrac{m^{2}u^{2}\sin^{2}\theta}{2(M+m)}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{Mm}{M+m}u^{2}=\dfrac{(M+m\sin^{2}\theta)mu^{2}}{2(M+m)} \end{align*} また，(b)での物体の位置を重力による位置エネルギーの基準点とすると，(a)での物体の重力による位置エネルギー$U_{\rm a}$は
$U_{\rm a}=mgR(1-\cos\theta)$
(a)の球と物体の運動エネルギーの和は$K_{\rm a}=0$，(b)での重力による位置エネルギーは$U_{\rm b}=0$なので力学的エネルギー保存則より
$U_{\rm a}+K_{\rm a}=U_{\rm b} +K_{\rm b}$
\begin{align*} &mgR(1-\cos\theta)+0=0+\dfrac{(M+m\sin^{2}\theta)mu^{2}}{2(M+m)}\\ &\therefore u=\textcolor{red}{\sqrt{\dfrac{2(M+m)gR(1-\cos\theta) }{M+m\sin^{2}\theta} } } \end{align*}
<別解>
水平方向の運動量保存則
$0=mv_{x}+MV$
に$v_{x}=V+u\cos\theta$を代入して
$0=m(V+u\cos\theta)+MV$ $\therefore\,\,V=-\dfrac{mu\cos\theta}{M+m}$ $\cdots (\ast)$
力学的エネルギー保存則より
$mgR(1-\cos\theta)=\dfrac{1}{2}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})+\dfrac{1}{2}MV^{2}$
$v_{x}=V+u\cos\theta，v_{y}=u\sin\theta$を代入して
$mgR(1-\cos\theta)=\dfrac{1}{2}m\left\{(V+u\cos\theta)^{2}+(u\sin\theta)^{2} \right\}+\dfrac{1}{2}MV^{2}$
$\dfrac{1}{2}mu^{2}+mVu\cos\theta+\dfrac{1}{2}MV^{2}=mgR(1-\cos\theta)$ $\cdots (2\ast)$
$(2\ast)$を$(\ast)$に代入して$u$を求めると，
$u=\textcolor{red}{\sqrt{\dfrac{2(M+m)gR(1-\cos\theta) }{M+m\sin^{2}\theta} } }$
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