[薄膜の干渉]位相差が生じる経路の長さ | Physicmath（フィジクマス）

NEKO

薄膜の干渉の問題で，よく上のような図が出てくるよね．

このとき，青い光の経路と赤い光の経路の差は

$\rm{ABC-PC}$

だと思っていたんだけど，なぜか問題集の解答では

$\rm{QBC}$

の部分を経路差として計算していたんだよ．

なんでこんな風になるんだろう？

PHYさん

正確には，

位相差が生じる経路の差

ですね．理由は

$\rm{PC}$部分と$\rm{AQ}$部分には位相差がない

からです．

PHYさん

位相差について知りたい人はこちらの記事を読んでください．

NEKO

干渉問題の位相差の計算はこちらで紹介したね．

PHYさん

それでは，$\rm{PC}$部分と$\rm{AQ}$部分には位相差がないことを確認しましょう．

まず，入射角と屈折角をそれぞれ$\theta_{1}$，$\theta_{2}$と設定します．

すると，$\rm{AQ}$部分の長さと$\rm{PC}$部分の長さはそれぞれ$\rm{AC}$，$\theta_{1}$，$\theta_{2}$を使ってどのように表すことができるでしょうか？

NEKO

2つの直角三角形$\bigtriangleup \rm{AQC}$と$\bigtriangleup \rm{CPA}$の三角比を考えれば

$\rm{AQ}=\rm{AC}\sin \theta_{2}$，$\rm{PC}=\rm{AC}\sin \theta_{1}$

となるね．

PHYさん

次に入射角$\theta_{1}$，屈折角$\theta_{2}$，そして空気の波長$\lambda_{1}$と薄膜での波長$\lambda_{2}$の関係はどのようになりますか？

NEKO

屈折の法則より

$\dfrac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$

だね．

PHYさん

そうです．その式は次のようにも変形できますね．

$\dfrac{\lambda_{1}}{\sin\theta_{1}}=\dfrac{\lambda_{2}}{\sin\theta_{2}}$　$\dots　(\ast)$

では，最後に位相差についてです．

経路に対応する位相は次のように比例式を立てるとよいでしょう．

★経路$\rm{PC}$部分による位相のずれ$\phi_{1}$

$2\pi : \lambda_{1} = \phi_{1} : \rm{PC}$

$\eqalign{\phi_{1}&=\dfrac{2\pi}{\lambda_{1}}\rm{PC}\\&=\dfrac{2\pi}{\lambda_{1}}\rm{AC}\sin \theta_{1}}$　$\dots　(\clubsuit)$

★経路$\rm{AQ}$部分による位相のずれ$\phi_{2}$

$2\pi : \lambda_{2} = \phi_{2} : \rm{AQ}$

$\eqalign{\phi_{2}&=\dfrac{2\pi}{\lambda_{2}}\rm{AQ}\\&=\dfrac{2\pi}{\lambda_{2}}\rm{AC}\sin \theta_{2}}$　$\dots　(\spadesuit)$

NEKO

$(\ast)$の$\dfrac{\lambda_{1}}{\sin\theta_{1}}=\dfrac{\lambda_{2}}{\sin\theta_{2}}$を$(\clubsuit)$に代入すると$(\spadesuit)$になるね！

$\eqalign{\phi_{1}&=\dfrac{2\pi}{\lambda_{1}}\rm{AC}\sin \theta_{1}\\&=\dfrac{2\pi}{\lambda_{2}}\rm{AC}\sin \theta_{2}\\&=\phi_{2}}$

$\phi_{1}=\phi_{2}$だからこの部分の位相差は考えなくてもいいんだ．

PHYさん

$\rm{PC}$部分と$\rm{AQ}$部分には位相差がないことを確かめたので，残りの$\rm{QBC}$部分の経路による位相差を調べましょう．

次のように少し工夫して計算するとよいです．

PHYさん

$\rm{BC}$部分を薄膜と空気の境界である直線$l$について折り返します．

すると，$\rm{QB+BC}$の代わりに$\rm{QB+BC’=QC’}$を計算すればいいことが確認できます．

そこで，直角三角形$\bigtriangleup {\rm CQC’}$を考えます．

${\rm CC’}=2d$であり，平行線の錯角から$\angle \rm{CC’Q}=\theta_{2}$なので，

${\rm QC’}=2d\cos \theta_{2}$

となります．

NEKO

では，これを位相差に直そう！

位相差を$\phi$として，，，

$\eqalign{2\pi : \lambda_{2}&=\phi : 2d\cos\theta_{2}\cr \phi &=\dfrac{2\pi}{\lambda_{2}}\cdot 2d\cos\theta_{2}\cr \phi &=\dfrac{4\pi d \cos \theta_{2}}{\lambda_{2}}}$

NEKO

確か，位相差が生じる原因は次の3つだったね．

位相差が生じる3つの要素

位相差$\phi$は主に次の3つの位相差によって決まる．

$\phi_{1}$：初期位相のずれ

$\phi_{2}$：反射による位相のずれ

$\phi_{3}$：距離の差（屈折率が変わることで生じる光学的な距離の差を含む）による位相のずれ

このとき，位相差$\phi$は

$\phi=\phi_{1}+\phi_{2}+\phi_{3}$

PHYさん

はい．なので，反射による位相のずれも考えましょう．

$n_{2}>n_{1}$とします．

すると，赤の経路の反射であるCでは固定端反射し，青の経路であるBでは自由端反射します．

NEKO

じゃあ，片方は位相が$\pi$ずれて，もう片方は位相のずれはないので，合計位相が$\pi$ずれるね．

念のため，自由端反射と固定端反射の位相のずれも次の図で確認しておこう．

PHYさん

そして，強め合いの条件と弱め合いの条件の確認です．

位相差による干渉条件のまとめ

地点Pにおける2つの波の位相差を$\phi$，整数を$m$とすると，

強め合いの条件：$\phi=2\pi m$

弱め合いの条件：$\phi=(2m+1)\pi $

位相差$\phi$は次の3つの要素で決まる．

$\phi_{1}$：初期位相のずれ

　同位相なら$\phi_{1}=0$，逆位相なら$\phi_{1}=\pi$

$\phi_{2}$：反射による位相のずれ

　自由端反射なら$\phi_{2}=0$，固定端反射なら$\phi_{2}=\pi$

$\phi_{3}$：距離の差（屈折率が変わることで生じる光学的な距離の差を含む）による位相のずれ

　距離の差が$\Delta l$のとき，次の比例式を立てて，位相差$\phi_{3}$を計算する．

$2\pi : \lambda =\phi_{3} : \Delta l$

$\therefore　\phi_{3}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta l$

このとき，位相差$\phi$は

$\phi=\phi_{1}+\phi_{2}+\phi_{3}$

NEKO

じゃあ，今回の強め合いの条件と弱め合いの条件は次のようになるね．

★強め合いの条件

$\dfrac{4\pi d \cos \theta_{2}}{\lambda_{2}} +\pi =2\pi m$

PHYさん

もし選択式の問題の場合は，上の形を変形したものがでる可能性もあります．

適する形に変形できるようにしておきましょう．

また，今回は反射による位相差が$\pi$としましたが，屈折率の関係によっては，ずれがないこともあるので，その都度考えて下さい．

★弱め合いの条件

$\dfrac{4\pi d \cos \theta_{2}}{\lambda_{2}} +\pi =(2m-1)\pi$

薄膜の干渉問題の距離による位相差のまとめ

上図において，$\rm PC$と$\rm AQ$部分の位相差はないので，距離による位相差は$\rm QBC$の部分だけを考えればよい．