図のように水平で滑らかな床の上に質量$2m$，$3m$の2つ物体A,Bがばね定数$k$の軽いばねによってつながれている．
自然長の状態からAとBに力を加えてばねを$l$だけ伸ばして静かにはなした．
その後の運動について，次の問いに答えよ．
(1) AとBの重心でばねを分割して考える．A側のばね定数$k_{\rm A}$とB側のばね定数$k_{\rm B}$を求めよ．
(2) 重心から見たBの運動について考える．自然長の位置を原点として，ばねが伸びる方向に座標をとる．はじめ，重心から見たB側のばねはどれほど伸びていたか．$l$を用いて答えよ．
(3) B側の物体の運動方程式を立てることによって，重心からみたBの角振動数$\omega_{\rm B}$を求めよ．
(4) 同じく，A側の物体の角振動数$\omega_{\rm A}$を求めよ．
(5) 手をはなした時刻を$t=0$とする．時刻$t$におけるAとBの速度を求めよ．ただし，速度の向きは上図の右方向を正とする．
(6) 重心からみた運動量の和が0であることを確かめよ．
<解答>
(1)
この問題でも，前回と同様に重心の初速度は0で，重心の加速度も0なので，重心は常に静止しています．
重心はABを$3:2$に内分した場所にあるね．
だから，重心の左側のばねの長さと右側の長さの比は$3:2$です．
ばね定数は長さに反比例することから次の計算ができます．
ちなみに，なぜ，ばね定数は長さに反比例するのかを知りたい人は，次の記事を読んでみてください．
★ ばね定数を求める．
A側のばね定数について
$k:k_{\rm A}=1:\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}}$
$\therefore$ $k_{\rm A}=\dfrac{5}{3}k$
B側のばね定数について
$k:k_{\rm B}=1:\dfrac{1}{\dfrac{2}{5}}$
$\therefore$ $k_{\rm B}=\dfrac{5}{2}k$
(2)
材質が同じで軽いばねは，力を加えると各部分が均等に伸びます．
つまり，ばねが長ければ長いほど伸びが大きくなります．
いま，A側のばねとB側のばねの長さの比が$3:2$なので，はじめの伸びも$3:2$となります．
ばね全体の伸びが$l$なので，A側のばねの伸びは$\dfrac{3}{5}l$，B側のばねの伸びは$\dfrac{2}{5}l$となります．
(3)
さあ，運動方程式を立てましょう．
問題文の指定通り，自然長となる位置を原点ととり，伸びる方向を正とします．
Bが座標$x_{\rm B}$にあるときの加速度を$a_{\rm B}$とします．
このとき，Bにはたらく水平方向の力は弾性力のみですね．
★ 物体Bの運動方程式
$3ma_{\rm B}=-\dfrac{5}{2}kx_{\rm B}$
この運動方程式から，中心座標は$x_{\rm B}=0$，角振動数$\omega_{\rm B}$は
$\omega_{\rm B}=\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}$
周期$T_{\rm B}$は
$T_{\rm B}=2\pi\sqrt{\dfrac{6m}{5k}}$
また，中心から右端までの距離が$\dfrac{2}{5}l$なので，振幅は$\dfrac{2}{5}l$となります．
ついでに，手をはなした時刻を$t=0$とすれば，時刻$t$におけるBの座標$x_{\rm B}$の位置は
$x_{\rm B}=\dfrac{2}{5}l\cos\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t$ $\dots (\ast)$
です！
(4)
同じく，Aの方の運動方程式も立てましょう．
自然長の位置を原点として，伸びる方向に座標をとります．
位置$x_{\rm A}$における加速度を$a_{\rm A}$として，
★ 物体Aの運動方程式
$2ma_{\rm A}=-\dfrac{5}{3}kx_{\rm A}$
この運動方程式から，中心座標は$x_{\rm A}=0$，角振動数$\omega_{\rm A}$は
$\omega_{\rm A}=\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}$
となります．
$\omega_{\rm A}=\omega_{\rm B}$となってるね！
だから，周期も同じ$T_{\rm A}=2\pi\sqrt{\dfrac{6m}{5k}}$となります．
振幅は$\dfrac{3}{5}l$なので，時刻$t$における座標$x_{\rm A}$は
$x_{\rm A}=\dfrac{3}{5}l\cos\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t$ $\dots (2\ast)$
となります．
(5)
(3)(4)で求めた$(\ast)$と$(2\ast)$の式
$x_{\rm B}=\dfrac{2}{5}l\cos\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t$
と
$x_{\rm A}=\dfrac{3}{5}l\cos\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t$
をそれぞれ$t$微分すれば速度ができますが，ここで注意することがあります．
Aの座標は左方向を正としましたが，問題文では，右方向が正であると指定されています．
なので，$(2\ast)$の式を$t$で微分をした後に座標が逆向きであることを考慮してさらに$-$をとる必要があります．
こういうのは”あるある”だよね．
自分の設定したものと問題文の設定がことなるっていう．．
じゃあ，
$\dfrac{dx_{\rm B}}{dt}=-\dfrac{2}{5}l\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}\sin\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t$
$\dfrac{dx_{\rm A}}{dt}=-\dfrac{3}{5}l\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}\sin\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t$
から，BとAの速度$v_{\rm B}$と$v_{\rm A}$はそれぞれ
$v_{\rm B}=\dfrac{dx_{\rm B}}{dt}=-\dfrac{2}{5}l\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}\sin\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t$
$v_{\rm A}=-\dfrac{dx_{\rm A}}{dt}=\dfrac{3}{5}l\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}\sin\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t$
となるんだね．
(6)
最後に，重心からみた運動量の和が0であることを確かめます．
実際はこれを用いて(5)を求めてもよいです．
重心からみた運動量の和が0になる理由がわからない方は，こちらの記事を読んでみてください．
★ 重心から見た運動量の和
$\eqalign{3mv_{\rm B}+2mv_{\rm A}&=3m(-\dfrac{2}{5}l\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}\sin\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t)+2m(\dfrac{3}{5}l\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}\sin\sqrt{\dfrac{5k}{6m}}t)\\&=0}$
確かに運動量の和は0となったね！
ちなみに今回は時間とともに次の振動します．
コメント
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