今までは,回路素子として抵抗のみを扱ってきましたが,今回はコンデンサーを使った問題を解いていきます.
今までと違ったことをする必要があるの??
いえ,変わりません.
ただ,コンデンサーの問題なので,次の2つの式はチェックしておきましょう.
では問題を解いてみましょう.
その他の導体棒の問題はこちらにまとめてあります.
<解答>
次の2つのことをチェックしておきましょう.
設定をしましょう.
スイッチを閉じた時刻を$t=0$とし,時刻$t$に回路に流れている電流を$i$,コンデンサーに蓄えらえている電荷を$q$とします.
導体棒は常に速さ$v$に保たれているので,導体棒に生じる誘導起電力は$vBl$ですね.
また,コンデンサーにかかる電圧を$V_{\rm C}$とすると,コンデンサーの基本式より
$q=CV_{\rm C}$
$\therefore V_{\rm C}=\dfrac{q}{C}$
となります.
その上で,「1.回路の式」を立てていきましょう.
★ キルヒホッフの法則
$vBl-Ri-V_{\rm C}=0$
$V_{\rm C}=\dfrac{q}{C}$より
$vBl-Ri-\dfrac{q}{C}$ $\dots (\ast)$
★ 電流の定義式
$i=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}$ $\dots (2\ast)$
$(2\ast)$を$(\ast)$に代入して
$vBl-R\dfrac{\Delta q}{\Delta t}-\dfrac{q}{C}=0$
$\therefore \dfrac{\Delta q}{\Delta t}=-\dfrac{1}{RC}q+\dfrac{vBl}{R}$ $\dots (\clubsuit)$
$(\clubsuit)$の式はいつもの終端速度型の運動方程式と同じ形だね!
($a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$だから,対応関係を考えれば同じ)
こちらの記事のも書いてあるよ.
つまり,十分時間が経つと
$\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=0$
となるんだね.
十分時間が経つと,$\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=0$となるので,$(\clubsuit)$より
$\eqalign{0&=-\dfrac{1}{RC}q+\dfrac{vBl}{R}\cr q&=vBlC}$
答え:十分時間が経ったときに蓄えられる電荷は$vBlC$
この問題はわざわざ式を立てなくても電流が0になるときを考えればよいのですが,より難しい問題を確実に解くには式を立てる癖をつけておくとよいでしょう.
次回の内容はこちらです.
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