[標準]導体棒とコンデンサー①

分野別
PHYさん
PHYさん

今までは,回路素子として抵抗のみを扱ってきましたが,今回はコンデンサーを使った問題を解いていきます.

NEKO
NEKO

今までと違ったことをする必要があるの??

PHYさん
PHYさん

いえ,変わりません.

ただ,コンデンサーの問題なので,次の2つの式はチェックしておきましょう.

コンデンサーの基本式

コンデンサーの電気容量(静電容量)を$C$,コンデンサーにかかる電圧を$V$,蓄えられた電気量を$Q$とすると,

$Q=CV$

の関係がある.

電流の定義

時間$\Delta t$の間に電気量$\Delta Q$が通過するときの電流の大きさ$i$は

$i=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$

問題

上図のように,水平面に導体レールを平行に敷き,その間隔を$l$にして固定する.

また,電気抵抗$R$の抵抗,電気容量$C$のコンデンサー,スイッチを上図のようにつないだ.

この空間全範囲に鉛直上向き(画面奥から手前方向)大きさ$B$の一様な磁束密度をかけた.

2本の導体レールの上と垂直になるように,質量$m$の導体棒をおき,図の向きに速さ$v$を与えた.

速さ$v$を維持したままスイッチを閉じ,その後も外力を加え速さ$v$を維持した.

このとき,十分時間が経ったときのコンデンサーに蓄えられる電荷を求めよ.

ただし,スイッチを閉じる前にコンデンサーには電荷が蓄えられていなかったものとする.

<解答>

NEKO
NEKO

次の2つのことをチェックしておきましょう.

導体棒の問題で立てて欲しい3つの式
  1. 回路の式(オームの法則,コンデンサーの基本式,電荷保存則など)
  2. 導体棒の運動に関する式(つり合いの式,運動方程式,運動量保存則など)
  3. 導体棒と回路の系全体のエネルギー収支の式
導体棒に生じる誘導起電力の公式(直線運動)

PQ間に生じる誘導起電力の大きさ$V_{\rm{PQ}}$は,PQの長さを$l$,PQ方向に垂直な速さを$v_{\perp}$,導体棒が動く方向と垂直な磁束密度の大きさを$B$とすれば,

$V=v_{\perp}Bl$

NEKO
NEKO

設定をしましょう.

スイッチを閉じた時刻を$t=0$とし,時刻$t$に回路に流れている電流を$i$,コンデンサーに蓄えらえている電荷を$q$とします.

NEKO
NEKO

導体棒は常に速さ$v$に保たれているので,導体棒に生じる誘導起電力は$vBl$ですね.

また,コンデンサーにかかる電圧を$V_{\rm C}$とすると,コンデンサーの基本式より

$q=CV_{\rm C}$

$\therefore V_{\rm C}=\dfrac{q}{C}$

となります.

その上で,「1.回路の式」を立てていきましょう.

★ キルヒホッフの法則

$vBl-Ri-V_{\rm C}=0$

$V_{\rm C}=\dfrac{q}{C}$より

$vBl-Ri-\dfrac{q}{C}$ $\dots (\ast)$

★ 電流の定義式

$i=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}$ $\dots (2\ast)$

$(2\ast)$を$(\ast)$に代入して

$vBl-R\dfrac{\Delta q}{\Delta t}-\dfrac{q}{C}=0$

$\therefore \dfrac{\Delta q}{\Delta t}=-\dfrac{1}{RC}q+\dfrac{vBl}{R}$ $\dots (\clubsuit)$

終端速度型の運動方程式

質量を$m$,加速度を$a$,速度を$v$,$C$を定数とすると

$ma=-kv+C$

は終端速度型の運動方程式である.

終端速度型の運動方程式は次の特徴がある.

十分時間が経つと,速度が一定(加速度が0)になる.

速度が一定になったときの速度を終端速度という.

終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して

$0=-kv+C$ $\therefore v=\dfrac{C}{k}$

また,$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると,そのときの加速度($v-t$グラフの傾き)は

$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$

となる.

NEKO
NEKO

つまり,十分時間が経つと

$\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=0$

となるんだね.

十分時間が経つと,$\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=0$となるので,$(\clubsuit)$より

$\eqalign{0&=-\dfrac{1}{RC}q+\dfrac{vBl}{R}\cr q&=vBlC}$

答え:十分時間が経ったときに蓄えられる電荷は$vBlC$

PHYさん
PHYさん

コメント

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