連続する2数の積の和の計算

高校数学

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

この計算は展開をして$\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$や$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$を使うのではなく,次の変形をできるようにすると計算がスムーズにいきます.

$\eqalign{k(k+1) &=k(k+1)\{(k+2)-(k-1)\}\cdot \dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{1}{3}\{(k+2)(k+1)k-(k+1)k(k-1)\}}$ $\dots(\ast)$

$k+1$より1つ大きい$k+2$から,$k$より1つ小さい$k-1$を引くと$(k+2)-(k-1)=3$となるので,辻褄合わせで$\dfrac{1}{3}$をかけています.なぜ,このような形を作ったのかはこれからわかります.でも覚えておいて欲しいのは,$\sum$の計算は”差の形”をつくるとうまく計算ができることが多いんです.

$(\ast)$に式に$k=1$を代入してみましょう.

$\dfrac{1}{3}\{3\cdot 2\cdot 1 -2 \cdot 1 \cdot 0\}$

さらに,$k=2 , 3 , 4 , \dots , n$と代入していきましょう.

$\dfrac{1}{3}\{4\cdot 3\cdot 2 -3 \cdot 2 \cdot 1\}$

$\dfrac{1}{3}\{5\cdot 4\cdot 3 -4 \cdot 3 \cdot 2\}$

$\dfrac{1}{3}\{6\cdot 5\cdot 4 -5 \cdot 4 \cdot 3\}$

$\dots$

$\dfrac{1}{3}\{(n+2)\cdot (n+1)\cdot n -(n+1)n(n-1)\}$

これらの和をとっていくと,次々と消えていきます.

$\eqalign{\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)&= \dfrac{1}{3}\{ (\cancel {3\cdot 2\cdot 1})- (2\cdot 1\cdot 0)\\&+ (\cancel{4\cdot 3\cdot 2})-(\cancel{3 \cdot 2 \cdot 1}) \\ &+ (\cancel{5\cdot 4\cdot 3})-(\cancel{4 \cdot 3 \cdot 2})\\ &+ (\cancel{6\cdot 5\cdot 4})-(\cancel{5 \cdot 4 \cdot 3})\\ &+ \dots \\ &+ (n+2)\cdot (n+1)\cdot n -\cancel{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)}\} \\&=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)}$

また,同じように,$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)$は次のように差を作って計算をします.

$k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)\{ (k+3)-(k-1) \} \cdot \dfrac{1}{4}$

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)=\dfrac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$

それでは,これを利用して次の計算をしてみましょう.

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \{\sum_{j=1}^k (\sum_{i=1}^j i) \}$

内側から計算していきましょう.

$\eqalign{\displaystyle \sum_{k=1}^n \{\sum_{j=1}^k (\sum_{i=1}^j i) \} &=\sum_{k=1}^n \{\sum_{j=1}^k \dfrac{1}{2}j(j+1)\} \\ &=\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n \{\sum_{j=1}^k j(j+1)\} \\ &=\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2) \\&=\dfrac{1}{6}\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \\&=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\&=\dfrac{1}{24}n(n+1)(n+2)(n+3) }$

ここまでくると,2数の積の和や3数の積の和の式を知らないと大変ですね.他にも,

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)(k+3)$や$\displaystyle \sum_{k=2}^n k(k+1)(k+2)$などようなものも解くことできます.ぜひ挑戦してみましょう.

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