今回は，熱の出入りがない状況で圧力や体積や温度が変化する断熱変化の問題です．
断熱変化であっても，気体が仕事をしたら（されたら）温度が変化することに注意しましょう．
それを教えてくれるのが，熱力学第一法則です．
内部エネルギーの変化を$\Delta U$，気体が吸収する熱量を$Q$，気体がした仕事を$W$とすると
$Q=\Delta U+W$
内部エネルギーとは，気体分子の力学的エネルギーの和のことです．
理想気体においては，内部エネルギーは絶対温度に比例します．
こちらの記事でも解説しています．
すると，内部エネルギーが増加すれば，温度があがったことになりますし，内部エネルギーが減少すれば，温度がさがったことになります．
そして，内部エネルギーの変化は，熱力学第一法則によれば，次の2つの要素で変化することがわかります．
- 熱量
- 外力が気体にした仕事（準静的変化なら気体が外部にした仕事もOK）
だから，断熱変化であっても，気体が仕事をされていたら（気体が仕事をしたら）内部エネルギーは変化し，温度も変化するんです．
それでは，問題を解いてみましょう．
図のように，水平な床の上に断熱容器が固定されている．
熱を通さないピストンと断熱容器によって，単原子分子理想気体を封入し，ピストンに外力を加えて固定すると，気体の圧力は$p_{0}$，体積は$V_{0}$，絶対温度は$T_{0}$であった．
この状態を状態0とする．
この状態から温度調節器は作動させずに，外力を調整してピストンをゆっくりと上にもちあげ，体積を$V_{1}=2V_{0}$にした．この状態を状態1とする．
単原子分子理想気体の準静的断熱変化について，気体の圧力$p$と体積$V$には，次の関係が成り立つ．
$pV^{\frac{5}{3}}=$一定 $\dots (\ast)$
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $(\ast)$を用いて，状態1における圧力$p_{1}$を$p_{0}$を用いて表せ．
(2) 状態1における絶対温度を$T_{0}$を用いて表せ．
(3) 状態0から状態1における内部エネルギーの変化を$p_{0}$，$V_{0}$を用いて表せ．
(4) 状態0から状態1における気体がした仕事を$p_{0}$，$V_{0}$を用いて表せ．
<解答>
(1)
★ ポアソンの式
$p_{1}(2V_{0})^{\frac{5}{3}}=p_{0}V_{0}^{\frac{5}{3}}$
$\therefore$ $p_{1}=2^{-\frac{5}{3}}p_{0}$
(2)
そして，ボイル・シャルルの法則で絶対温度$T_{1}$を求めましょう．
理想気体について，物質量$n$が変化しないとき，気体の圧力を$p$，気体の体積を$V$，絶対温度を$T$とすると，
$\dfrac{pV}{T}=$一定
が成り立つ．（ボイル・シャルルの法則）
特に，温度が一定のとき
$pV=$一定（ボイルの法則）
圧力が一定のとき
$\dfrac{V}{T}=$一定（シャルルの法則）
が成り立つ．
★ ボイル・シャルルの法則
$\dfrac{p_{1}\cdot 2V_{0}}{T_{1}}=\dfrac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}$
$\therefore$ $T_{1}=2^{-\frac{2}{3}}T_{0}$
(3)
内部エネルギーの変化は，気体定数$R$が与えられていないので
$\Delta U=\dfrac{3}{2}(p^{\prime}V^{\prime}-pV)$
を使いましょう．
問題分に単原子分子理想気体とかいてあるときは，次のことを使うことができる．
定積モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$である．すなわち
内部エネルギー$U$は
$U=\dfrac{3}{2}nRT=\dfrac{3}{2}pV$
内部エネルギーの変化$\Delta U$は
$\Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V{1})$
※$n$：物質量，$T$：絶対温度，$p$：圧力，$V$：体積
★ 単原子分子理想気体の内部エネルギーの式
$\eqalign{\Delta U&=\dfrac{3}{2}(p_{1}V_{1}-p_{0}V_{0})\\&=\dfrac{3}{2}(2^{-\frac{5}{3}}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})\\&=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}(2^{-\frac{2}{3}}-1)}$
したがって，$\Delta U=-\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}(1-2^{-\frac{2}{3}})$$(<0)$
(4)
今回も$pV$グラフの面積を求めるのは大変そうだね．
こういうときは熱力学第一法則を考えてみましょう．
★ 熱力学第一法則
断熱変化なので$Q=0$より
$W=-\Delta U=-\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}(2^{-\frac{2}{3}}-1)$
したがって，$W=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}(1-2^{-\frac{2}{3}})$$(>0)$
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