今回は,熱の出入りがない状況で圧力や体積や温度が変化する断熱変化の問題です.
断熱変化であっても,気体が仕事をしたら(されたら)温度が変化することに注意しましょう.
それを教えてくれるのが,熱力学第一法則です.
内部エネルギーとは,気体分子の力学的エネルギーの和のことです.
理想気体においては,内部エネルギーは絶対温度に比例します.
こちらの記事でも解説しています.
すると,内部エネルギーが増加すれば,温度があがったことになりますし,内部エネルギーが減少すれば,温度がさがったことになります.
そして,内部エネルギーの変化は,熱力学第一法則によれば,次の2つの要素で変化することがわかります.
- 熱量
- 外力が気体にした仕事(準静的変化なら気体が外部にした仕事もOK)
だから,断熱変化であっても,気体が仕事をされていたら(気体が仕事をしたら)内部エネルギーは変化し,温度も変化するんです.
温度が変化しないのは等温変化といったね.
等温変化はこちら扱いました.
それでは,問題を解いてみましょう.
<解答>
(1)
$(\ast)$はポアソンの式です.
ポアソンの式の導出はこちらでも扱っています.
★ ポアソンの式
$p_{1}(2V_{0})^{\frac{5}{3}}=p_{0}V_{0}^{\frac{5}{3}}$
$\therefore$ $p_{1}=2^{-\frac{5}{3}}p_{0}$
(2)
そして,ボイル・シャルルの法則で絶対温度$T_{1}$を求めましょう.
★ ボイル・シャルルの法則
$\dfrac{p_{1}\cdot 2V_{0}}{T_{1}}=\dfrac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}$
$\therefore$ $T_{1}=2^{-\frac{2}{3}}T_{0}$
(3)
内部エネルギーの変化は,気体定数$R$が与えられていないので
$\Delta U=\dfrac{3}{2}(p^{\prime}V^{\prime}-pV)$
を使いましょう.
★ 単原子分子理想気体の内部エネルギーの式
$\eqalign{\Delta U&=\dfrac{3}{2}(p_{1}V_{1}-p_{0}V_{0})\\&=\dfrac{3}{2}(2^{-\frac{5}{3}}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})\\&=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}(2^{-\frac{2}{3}}-1)}$
したがって,$\Delta U=-\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}(1-2^{-\frac{2}{3}})$$(<0)$
(4)
今回も$pV$グラフの面積を求めるのは大変そうだね.
こういうときは熱力学第一法則を考えてみましょう.
★ 熱力学第一法則
断熱変化なので$Q=0$より
$W=-\Delta U=-\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}(2^{-\frac{2}{3}}-1)$
したがって,$W=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}(1-2^{-\frac{2}{3}})$$(>0)$
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