今回は右上がりの直線型の$pV$図の問題です．
ピストンにばねがついている問題でよくある形です．
上図のような$pV$図について考える．
状態Aでは，圧力$p_{0}$，体積$V_{0}$，絶対温度$T_{0}$であった．
状態Aから上図のように直線的に状態Bに変化させる．
状態Bでは，圧力$2p_{0}$，体積$2V_{0}$であった．
このとき，次の問いに答えよ．
ただし，気体は単原子分子理想気体である．また，以下では，$p_{0}$，$V_{0}$，$T_{0}$から必要なものを用いて表せ．
(1) 状態Bにおける絶対温度$T_{\rm B}$を求めよ．
(2) 状態Aから状態Bまでに気体がした仕事$W_{\rm AB}$を求めよ．
(3) 状態AからBまでの内部エネルギーの変化$\Delta U_{\rm AB}$を求めよ．
(4) 状態AからBまでの熱量$Q$求めよ．
＜解答＞
(1)
おなじみの，面積の利用だね！
絶対温度は状態の点から$p$軸$V$軸へ下した垂線の足と原点でつくられる長方形の面積に比例する．
状態Aでの長方形の面積は$p_{0}V_{0}$，状態Bでの長方形の面積が$4p_{0}V_{0}$なので，状態Bにおける絶対温度は状態Aの絶対温度の4倍になっていますね．
したがって，答えは，$T_{\rm B}=4T_{0}$です．
(2)
次に，気体がした仕事は，$pV$図の曲線（今回は直線）と$V$軸とで囲まれた面積で求めます．
気体がした仕事は上図のように緑色部分の面積を求めることで計算ができる．
ただし，状態変化の矢印が右向きのときは
面積＝気体がした仕事
であるが，状態変化の矢印が左向きのときは
-面積＝気体がした仕事
である．
上図の青色部分の台形の面積を求めます．
$W_{\rm AB}＝\dfrac{1}{2}(p_{0}+2p_{0})\cdot (2V_{0}-V_{0})=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}$ (答)
(3)
内部エネルギーの変化の計算は，次の式を立てましょう．
問題文に単原子分子理想気体とかいてあるときは，次のことを使うことができる．
定積モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$である．すなわち
内部エネルギー$U$は
$U=\dfrac{3}{2}nRT=\dfrac{3}{2}pV$
内部エネルギーの変化$\Delta U$は
$\Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V{1})$
※$n$：物質量，$T$：絶対温度，$p$：圧力，$V$：体積
$\Delta U_{\rm AB}=\dfrac{3}{2}(2p_{0}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})=\dfrac{9}{2}p_{0}V_{0}$ （答）
(4)
最後に，熱量は熱力学第一法則で求めます．
内部エネルギーの変化を$\Delta U$，気体が吸収する熱量を$Q$，気体がした仕事を$W$とすると
$Q=\Delta U+W$
熱力学第一法則より
$\eqalign{Q_{\rm AB}&=\Delta U_{\rm AB}+W_{\rm AB}\\&=\dfrac{9}{2}p_{0}V_{0}+\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\\&=6p_{0}V_{0}}$ (答)
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