コンデンサーへの誘電体の挿入+分極電荷

コンデンサー
PHYさん
PHYさん

今回は,平行板コンデンサーに誘電体を挿入すると何が起こるのかについて考えます.

結論としては,コンデンサーの電気容量が次のように変化します.

誘電体の挿入

極板面積$S$の平板A,Bを距離$d$だけ隔てて固定しておく.

真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると,極板A,Bに何も入っていない場合の電気容量$C_{0}$は次のようになる.

$C_{0}=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}$

このコンデンサーに比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$,誘電率$\varepsilon$の誘電体で満たすとき,電気容量$C$は次のようになる.

$\eqalign{C&=\varepsilon\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}C_{0}}$

また,$\varepsilon_{0}$,$\varepsilon$,$\varepsilon_{\rm r}$は次の関係がある.

$\varepsilon_{\rm r}=\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$

NEKO
NEKO

誘電体を挿入すると,いろいろな文字が増えてややこしくなるんだよね.

しっかりと整理しておかなくちゃ.

PHYさん
PHYさん

さて,上の式を導くには,次の知識が必要となります.

1. 面積$S$の平面に電荷が$Q$が一様に分布したときに作られる電場は$\dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}$.

2. 電場$E_{0}$のなかに比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$の誘電体をいれると,誘電体内部の電場は$\dfrac{E_{0}}{\varepsilon_{\rm r}}$となる.

3. 電場$E$と電位差$V$と電位差がある距離$d$の関係は$E=\dfrac{V}{d}$

4. コンデンサー間の電圧を$V$,蓄えらえれている電荷を$Q$とすると,電気容量$C$は$C=\dfrac{Q}{V}$

PHYさん
PHYさん

それでは,確認していきましょう.

1. 面積$S$の平面に電荷が$Q$が一様に分布したときに作られる電場は$\dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}$.

平面に一様に分布した電荷がつくる電場

十分に広い平面に一様な電荷$Q$が分布している.

真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$,平面の面積を$S$とするとき,電場の大きさ$E$は

$E=\dfrac{|Q|}{2\varepsilon_{0}S}$

これは,電場が距離によらず一定であることを意味している.

2. 電場$E_{0}$のなかに比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$の誘電体をいれると,誘電体内部の電場は$\dfrac{E_{0}}{\varepsilon_{\rm r}}$となる.

PHYさん
PHYさん

コンデンサーに電荷が蓄えられている状態で,導体板を挿入すると,導体内の自由電子が移動し,導体板内の電場を0にしました.(静電誘導

一方,誘電体には自由電子がないため,導体とまったく同じことは起きません.

しかし,原子や分子レベルでプラスとマイナスが分かれる分極が起こります.(誘電分極

この分極により,もともとかけられていた電場を少し弱めます.

NEKO
NEKO

図で確認してみましょう.

NEKO
NEKO

まず,誘電体に外部から電場をかけます.

NEKO
NEKO

すると,外部電場によって,誘電体内部が分極します.

その結果,誘電体の上側部分にマイナスの電荷が,下側にプラスの電荷が帯電したと考えることができます.

この分極によって生じた電荷を分極電荷といいます.

NEKO
NEKO

分極電荷によって,外部電場と反対の方向に電場をつくります.

NEKO
NEKO

その結果,誘電体内部の電場は外部電場より少し弱められます.

電場の弱め具合は誘電体の種類によって異なります.

このとき,弱められた電場$E^{\prime}$は誘電体の種類によってきまる比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$を用いて次のように定義しましょう.

誘電体内の電場

比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$の誘電体に外部電場$E_{0}$をかけると,誘電分極により,誘電体内部の電場が$E^{\prime}$になったとする.

このとき,

$E^{\prime}=\dfrac{E_{0}}{\varepsilon_{\rm r}}$

となるように,比誘電率を定義する.

NEKO
NEKO

基本的に比誘電率は1より大きいので,外部電場を比誘電率で割ると小さくなるんだね.

$E^{\prime}=\varepsilon_{\rm r}E_{0}$

なのか,

$E^{\prime}=\dfrac{E_{0}}{\varepsilon_{\rm r}}$

なのかを迷ったら,誘電分極によって電場が小さくなるためには,割り算する必要があると,覚えてください.

3. 電場$E$と電位差$V$と電位差がある距離$d$の関係は$E=\dfrac{V}{d}$

NEKO
NEKO

電場の大きさと電位差と電位差間の距離の関係は確実に覚えておきたいね.

電場の電位差の関係

電場の大きさを$E$,距離$\Delta x$の電位差を$\Delta V$とするとき,次の関係が成り立つ.

$E=\left|\dfrac{\Delta V}{\Delta x}\right|$

4. コンデンサー間の電圧を$V$,蓄えらえれている電荷を$Q$とすると,電気容量$C$は$C=\dfrac{Q}{V}$

NEKO
NEKO

これは,コンデンサーの問題で毎回使うので,大丈夫ですね.

電気容量の定義式

コンデンサーに蓄えられている電荷を$Q$,コンデンサー間の電圧を$V$とすれば,コンデンサーの電気容量$C$は

$C=\dfrac{Q}{V}$

実際は

$Q=CV$

として使うことが多い.

PHYさん
PHYさん

さて,準備が整いました.

コンデンサーに誘電体を挿入したときの電気容量について考えていきましょう.

あらかじめ,面積$S$の平板A,Bを距離$d$隔てて固定しておきます.

そして,電池をつないで,コンデンサーに電荷$Q$を蓄えた後に,電池を取り外しておきましょう.

この状態から,コンデンサー内に誘電体を挿入すると,誘電体は分極します.

PHYさん
PHYさん

先ほどお話しした通り,誘電体内部の電場$E^{\prime}$はもともとコンデンサーによって作られていた電場$E_{0}=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$を用いると次のようになります.

$E^{\prime}=\dfrac{E_{0}}{\varepsilon_{\rm r}}$

NEKO
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さらに,コンデンサーの電位差を$V^{\prime}$とすると

$V^{\prime}=E^{\prime}d$

より

$\eqalign{V^{\prime}&=\dfrac{E_{0}}{\varepsilon_{\rm r}}d\\&=\dfrac{Q}{\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_{0}S}d}$

となるんだね.

そこから,コンデンサーの定義式より

$C^{\prime}=\dfrac{Q}{V^{\prime}}=\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}$

これで,誘電体を挿入したときの電気容量の式ができあがったね.

もう一度まとめておくよ.

誘電体の挿入

極板面積$S$の平板A,Bを距離$d$だけ隔てて固定しておく.

真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると,極板A,Bに何も入っていない場合の電気容量$C_{0}$は次のようになる.

$C_{0}=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}$

このコンデンサーに比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$,誘電率$\varepsilon$の誘電体で満たすとき,電気容量$C$は次のようになる.

$\eqalign{C&=\varepsilon\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}\varepsilon\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}C_{0}}$

また,$\varepsilon_{0}$,$\varepsilon$,$\varepsilon_{\rm r}$は次の関係がある.

$\varepsilon_{\rm r}=\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$

PHYさん
PHYさん

次はさらに踏み込んで,誘電体に帯電した電荷について考えてみましょう.

誘電体のA側部分が$-q$,B側部分が$+q$に帯電したとしましょう.

これらの電荷を分極電荷といいます.

PHYさん
PHYさん

それぞれの電荷がつくる電場を計算すると,領域1と領域3の電場は0.

領域2の電場$E^{\prime}$は次のようになります.

★ 領域2の電場

$\eqalign{E^{\prime}&=\dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}-\dfrac{q}{2\varepsilon_{0}S}-\dfrac{q}{2\varepsilon_{0}S}+\dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}\\&=\dfrac{Q-q}{\varepsilon_{0}S}}$

NEKO
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誘電体内部の電場は

$\eqalign{E^{\prime}&=\dfrac{E_{0}}{\varepsilon_{\rm r}}\\&=\dfrac{Q}{\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_{0}S}d}$

とも表すことができるんだったね.

$\dfrac{Q-q}{\varepsilon_{0}S}=\dfrac{Q}{\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_{0}S}$

PHYさん
PHYさん

分極電荷$q$について解くと

$q=\dfrac{\varepsilon_{\rm r}-1}{\varepsilon_{\rm r}}Q$

PHYさん
PHYさん

この誘電分極の式は覚える必要はありませんが,入試でも問われることがあるので,導けるようにしておくとよいでしょう.

コメント

  1. […] コンデンサーへの誘電体の挿入+分極電荷PHYさん今回は,平行板コンデンサ… 誘電体内の電場 […]

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