極板間にはたらく力はF=qEではない！?

NEKO

上図のように，面積$S$の平行平板コンデンサーがあって，極板に蓄えられている電荷が$Q$，$-Q$とします．

コンデンサー間の電場の大きさを$E$とすると，極板にはたらく引力$F$は

$F=\dfrac{1}{2}QE$

だったんだよ．

なんで，

$F=QE$

じゃないんだろう？？

PHYさん

そうですね．

まずは，次の2つを理解しておきましょう．

平面に一様に分布した電荷がつくる電場

十分に広い平面に一様な電荷$Q$が分布している．

真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$，平面の面積を$S$とするとき，電場の大きさ$E$は

$E=\dfrac{|Q|}{2\varepsilon_{0}S}$

これは，電場が距離によらず一定であることを意味している．

NEKO

それぞれの電荷は次のような電場をつくるんだね．

NEKO

電場$E=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$は$Q$と$-Q$それぞれがつくった電場を重ね合わせたものだね．

電荷$Q$が受ける力$F$は，電荷$-Q$がつくる電場$\dfrac{E}{2}=\dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}$を用いて

$F=$$Q$$\cdot$ $\dfrac{E}{2}$

となるんだね．

PHYさん

そういうことです．

$F=\dfrac{1}{2}QE$

というよりは，

$F=Q\cdot \dfrac{E}{2}$

と理解しておくとよいでしょう．

PHYさん

また，極板間にはたらく力は，静電エネルギーの変化を計算することでも確かめることができます．

PHYさん

$-Q$を蓄えている方の極板を固定して，$Q$の方の極板に力を加えてゆっくと距離を$d$から$d+\Delta d$に広げます．

このときに加える力の大きさを$F$として，$\Delta d$が非常に小さいため，力$F$は変化しないとします．

このとき，力$F$した仕事$W$は

$W=F\Delta d$　$\dots　(\ast)$

となります．

また，静電エネルギーの変化を$\Delta U$を計算します．

★　はじめの静電エネルギー$U_{1}$

$\eqalign{U_{1}&=\dfrac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}}\\&=\dfrac{Q^{2}d}{2\varepsilon_{0}S}}$

★　移動後の静電エネルギー$U_{2}$

$\eqalign{U_{2}&=\dfrac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d+\Delta d}}\\&=\dfrac{Q^{2}(d+\Delta d)}{2\varepsilon_{0}S}}$

★　静電エネルギーの変化$\Delta U$

$\eqalign{\Delta U&=U_{2}-U_{1}\\&=\dfrac{Q^{2}(d+\Delta d)}{2\varepsilon_{0}S}-\dfrac{Q^{2}d}{2\varepsilon_{0}S}\\&=\dfrac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}S}　\dots　(2\ast)}$

NEKO

静電エネルギーの変化$\Delta U$は仕事$W$は等しいので，次の関係式が成り立つね．

$W=F\Delta d$　$\dots　(\ast)$と$\Delta U=\dfrac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}S}$　$\dots　(2\ast)$より

$\eqalign{W&=\Delta U\cr F\Delta d&=\dfrac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}S}\cr F\Delta d&=\dfrac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}S}}$

したがって

$\eqalign{F&=\dfrac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}S}\\&=Q\cdot \dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}\\&=Q\cdot \dfrac{E}{2}}$

NEKO

$E=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$としました．

たしかに，$F=Q\cdot \dfrac{E}{2}$になったね．