[$\sum$の計算]等比数列の和を求める.

高校数学

等比数列の和の計算をする際,どのようにすればよいかわからなくなってしまう人がときどきいます.たとえば,次の計算を考えてみましょう.

$\displaystyle \sum_{k=1}^n 3^{2k-3}$ $\dots(\ast)$を計算せよ.

このような問題を$\sum$の公式を覚えている人はその形にもっていこうとします.しかし,ちょうっと面倒ですね.こういうときは,等比数列の和の公式を利用すると楽になることもあります.

初項$a$,公比$r$$(r\neq 1)$,項数$n$の等比数列の和$S$は

$S=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}=\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ $(2\ast)$

つまり,等比数列の和を計算するには次の3つがわかればいいんです.

  1. 初項$a$
  2. 公比$r$
  3. 項数$n$

それでは,$(\ast)$の初項と公比と項数はどのように調べればよいのでしょうか.

まず,項数は$n$で決まりですね.$\sum$の下と上をみればわかります.初項と公比は書き出すとわかるかと思います.

$k=1$のとき,$3^{2\cdot 1-3}=3^{-1}=\dfrac{1}{3}$

$k=2$のとき,$3^{2 \cdot 2 -3}=3$

初項は$\dfrac{1}{3}$ですね.(第2項)$\div$(第1項)$=3 \div \dfrac{1}{3}=9$なので,公比は$9$です.

それでは,$a=\dfrac{1}{3}$,$r=9$,$n=n$を$(2\ast)$に代入してみましょう.

$\displaystyle S=\dfrac{\dfrac{1}{3}(9^{n}-1)}{9-1}=\dfrac{9^{n}-1}{24}$

結局,初項と公比と項数を調べて($2\ast$)に代入すれば,割と簡単に計算ができました.初項と公比を調べるのも第1項と第2項を具体的に$k=1$と$k=2$を代入して計算しただけです.

もし,$\sum$の公式を使えるようにうまく変形できないときはこのやり方を確かめてみたらどうでしょうか.もちろん,”等比数列の和”の計算しか使えないことには注意しましょう.

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