交流演習 基礎演習2 電流から電圧を求める

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PHYさん
PHYさん

今回は,

回路素子に流れる電流がわかっているときに,電圧を求める

練習をしていきます.

電圧と電流の瞬時値(時刻$t$における電圧,電流)を求める際には,次の2つがわかれば解くことができます.

  • 最大値
  • 位相

次のことを確認して問題を解いてみましょう.

交流と回路素子

● 最大値について

回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$,流れる電流の最大値を$I_{0}$,リアクタンス(または抵抗)を$Z$とする.

このとき,次の関係が成り立つ.

$V_{0}=ZI_{0}$

$Z$は回路素子できまる.各周波数を$\omega$として

抵抗値$R$の抵抗のとき,$Z=R$

電気容量$C$のコンデンサーのとき,$Z=\dfrac{1}{\omega C}$

自己インダクタンス$L$のコイルのとき,$Z=\omega L$

● 位相のずれについて

1)電圧に対する電流の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

2)電流に対するで電圧の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

問題 電圧→電流

抵抗値$R$の抵抗,電気容量$C$のコンデンサー,自己インダクタンス$L$のコイルについて考える.AからGに流れる電流$i(t)$が次のように与えられたときに,Gに対するAの電位$V(t)$を求めよ.ただし,$i_{0}>0$とし,角周波数は$\omega $である.

(1) 素子Xが抵抗で$i(t)=i_{0}\sin\omega t$のとき

(2) 素子Xがコンデンサーで$i(t)=i_{0}\cos\omega t$のとき

(3) 素子Xがコイルで$i(t)=i_{0}\sin\omega t$のとき

(4) 素子Xがコンデンサーで$i(t)=i_{0}\sin\omega t$のとき

(5) 素子Xがコイルで$i(t)=i_{0}\cos \omega t$のとき

(6) 素子Xが抵抗で$i(t)=i_{0}\cos\omega t$のとき

<解答>

(1) 電圧の最大値$V_{0}$は

$V_{0}=Ri_{0}$

さらに,電流と電圧の位相差はないので

$V(t)=Ri_{0}\sin\omega t$ (答)

(2) 電圧の最大値$V_{0}$は

$V_{0}=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}$

さらに,電圧(電荷)の位相は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れるので

$\eqalign{V(t)&=\dfrac{i_{0}}{\omega C}\cos(\omega t-\dfrac{\pi}{2})\\&=\dfrac{i_{0}}{\omega C}\sin \omega t}$ (答)

(3) 電圧の最大値$V_{0}$は

$V_{0}=\omega Li_{0}$

さらに,電圧の位相は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$進んでいるので

$\eqalign{V(t)&=\omega Li_{0}\sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&=\omega Li_{0}\cos \omega t}$ (答)

(4) 電圧の最大値$V_{0}$は

$V_{0}=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}$

さらに,電圧(電荷)の位相は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れるので

$\eqalign{V(t)&=\dfrac{i_{0}}{\omega C}\sin(\omega t-\dfrac{\pi}{2})\\&=-\dfrac{i_{0}}{\omega C}\cos \omega t}$ (答)

(5) 電圧の最大値$V_{0}$は

$V_{0}=\omega Li_{0}$

さらに,電圧の位相は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$進んでいるので

$\eqalign{V(t)&=\omega Li_{0}\cos(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&=-\omega Li_{0}\sin \omega t}$ (答)

(6) 電圧の最大値$V_{0}$は

$V_{0}=Ri_{0}$

さらに,電流と電圧の位相差はないので

$V(t)=Ri_{0}\cos\omega t$ (答)

コメント

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