上図のように，交流電源，抵抗値$R$の抵抗，電気容量$C$のコンデンサーによって回路をつくる．
時刻$t$において，Gに対するAの電位が$V(t)=V_{0}\sin\omega t$であるとき，回路に流れる電流を求めたい．
回路に流れる電流を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) Bに対するAの電位$V_{\rm R}(t)$を$i_{0}$，$\omega$，$R$，$t$，$\phi$を用いて表せ．
(2) Gに対するBの電位$V_{\rm C}$を$i_{0}$，$\omega$，$C$，$t$，$\phi$を用いて表せ．
(3) Gに対するAの電位$V(t)$を$i_{0}$，$\omega$，$R$，$C$，$t$，$\phi$と定数$\delta(>0)$を用いて表せ．ただし，$\tan\delta$も求めること．
(4) (3)より，$i_{0}$を$V_{0}$，$R$，$C$，$\omega$を用いて表せ．
(5) $i(t)$を$V_{0}$，$R$，$C$，$\omega$，$t$，$\delta$を用いて表せ．
＜解答＞
交流の問題は次のことをおさえておきましょう．
● 最大値について
回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$，流れる電流の最大値を$I_{0}$，リアクタンス（または抵抗）を$Z$とする．
このとき，次の関係が成り立つ．
$V_{0}=ZI_{0}$
$Z$は回路素子できまる．各周波数を$\omega$として
抵抗値$R$の抵抗のとき，$Z=R$
電気容量$C$のコンデンサーのとき，$Z=\dfrac{1}{\omega C}$
自己インダクタンス$L$のコイルのとき，$Z=\omega L$
● 位相のずれについて
1）電圧に対する電流の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
2)電流に対するで電圧の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
(1)
抵抗を流れる電流が$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$と設定されているときの電圧$V_{\rm R}(t)$を求めます．
抵抗にかかる電圧の位相と電流の位相は同じです．
また，電圧の最大値$V_{\rm R0}$，$i_{0}$，$R$には次の関係が成り立ちます．
$V_{\rm R0}=Ri_{0}$
以上のことから，$V_{\rm R}(t)$は次のようになります．
$V_{\rm R}(t)=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)$ (答)
(2)
さらに，コンデンサーも同じ電流$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$が流れます．
コンデンサーにかかる電圧の位相は，電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れます．コンデンサーはコンデンサーの式
$Q=CV$
がいつの時刻でも成り立ちます．
コンデンサーに電流が流れた後に電荷が変化するイメージをもっておきましょう．
また，コンデンサーにかかる電圧の最大値$V_{\rm C0}$と角周波数$\omega$，電気容量$C$，電流の最大値$i_{0}$には，以下の関係が成り立ちます．
$V_{\rm C0}=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}$
以上より，コンデンサーにかかる電圧$V_{\rm C}(t)$は次のようになります．
$\eqalign{V_{\rm C}(t)&=\dfrac{i_{0}}{\omega C}\sin(\omega t+\phi-\dfrac{\pi}{2})\\&=-\dfrac{i_{0}}{\omega C}\cos(\omega t+\phi)}$ (答)
(3)
電圧降下の式より
$V(t)=V_{\rm R}(t)+V_{\rm C}(t)$
となります．
三角関数の合成の式を使って，$\sin$にまとめましょう．
すると，$V(t)=V_{0}\sin\omega t$と比較しやすくなります．
$\eqalign{V(t)&=V_{\rm R}(t)+V_{\rm C}(t)\\&=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)-\dfrac{i_{0}}{\omega C}\cos(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}\sin(\omega t+\phi -\delta)}$ (答)
ただし，$\tan\delta =\dfrac{\dfrac{1}{\omega C}}{R}=\dfrac{1}{\omega CR}$
ちなみに回路のインピーダンス$Z$は
$Z=\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}$
です．
(4)(5)
問題文で与えられた
$V(t)=V_{0}\sin\omega t$
と，(3)で求めた
$V(t)=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}\sin(\omega t+\phi -\delta)$
を比較しましょう．
★ 最大値部分の比較
$V_{0}=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}$
$\therefore i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}$ (4)の(答)
★ 位相部分の比較
$\omega t=\omega t+\phi -\delta$
$\therefore$ $\phi =\delta$
$i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}$と$\phi =\delta$を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$に代入すると
$i(t)=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}\sin(\omega t+\delta)$ (5)の(答)
ただし，$\tan\delta =\dfrac{1}{\omega CR}$
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