<解答>
交流の問題は次のことをおさえておきましょう.
(1)
抵抗を流れる電流が$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$と設定されているときの電圧$V_{\rm R}(t)$を求めます.
抵抗にかかる電圧の位相と電流の位相は同じです.
また,電圧の最大値$V_{\rm R0}$,$i_{0}$,$R$には次の関係が成り立ちます.
$V_{\rm R0}=Ri_{0}$
以上のことから,$V_{\rm R}(t)$は次のようになります.
$V_{\rm R}(t)=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)$ (答)
(2)
さらに,コンデンサーも同じ電流$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$が流れます.
コンデンサーにかかる電圧の位相は,電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れます.コンデンサーはコンデンサーの式
$Q=CV$
がいつの時刻でも成り立ちます.
コンデンサーに電流が流れた後に電荷が変化するイメージをもっておきましょう.
また,コンデンサーにかかる電圧の最大値$V_{\rm C0}$と角周波数$\omega$,電気容量$C$,電流の最大値$i_{0}$には,以下の関係が成り立ちます.
$V_{\rm C0}=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}$
以上より,コンデンサーにかかる電圧$V_{\rm C}(t)$は次のようになります.
$\eqalign{V_{\rm C}(t)&=\dfrac{i_{0}}{\omega C}\sin(\omega t+\phi-\dfrac{\pi}{2})\\&=-\dfrac{i_{0}}{\omega C}\cos(\omega t+\phi)}$ (答)
(3)
電圧降下の式より
$V(t)=V_{\rm R}(t)+V_{\rm C}(t)$
となります.
三角関数の合成の式を使って,$\sin$にまとめましょう.
すると,$V(t)=V_{0}\sin\omega t$と比較しやすくなります.
$\eqalign{V(t)&=V_{\rm R}(t)+V_{\rm C}(t)\\&=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)-\dfrac{i_{0}}{\omega C}\cos(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}\sin(\omega t+\phi -\delta)}$ (答)
ただし,$\tan\delta =\dfrac{\dfrac{1}{\omega C}}{R}=\dfrac{1}{\omega CR}$
ちなみに回路のインピーダンス$Z$は
$Z=\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}$
です.
(4)(5)
問題文で与えられた
$V(t)=V_{0}\sin\omega t$
と,(3)で求めた
$V(t)=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}\sin(\omega t+\phi -\delta)$
を比較しましょう.
★ 最大値部分の比較
$V_{0}=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}$
$\therefore i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}$ (4)の(答)
★ 位相部分の比較
$\omega t=\omega t+\phi -\delta$
$\therefore$ $\phi =\delta$
$i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}$と$\phi =\delta$を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$に代入すると
$i(t)=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}\sin(\omega t+\delta)$ (5)の(答)
ただし,$\tan\delta =\dfrac{1}{\omega CR}$
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