交流演習 RC直列回路② 電源の電圧が与えられた場合

分野別
問題

上図のように,交流電源,抵抗値$R$の抵抗,電気容量$C$のコンデンサーによって回路をつくる.

時刻$t$において,Gに対するAの電位が$V(t)=V_{0}\sin\omega t$であるとき,回路に流れる電流を求めたい.

回路に流れる電流を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$とするとき,次の問いに答えよ.

(1) Bに対するAの電位$V_{\rm R}(t)$を$i_{0}$,$\omega$,$R$,$t$,$\phi$を用いて表せ.

(2) Gに対するBの電位$V_{\rm C}$を$i_{0}$,$\omega$,$C$,$t$,$\phi$を用いて表せ.

(3) Gに対するAの電位$V(t)$を$i_{0}$,$\omega$,$R$,$C$,$t$,$\phi$と定数$\delta(>0)$を用いて表せ.ただし,$\tan\delta$も求めること.

(4) (3)より,$i_{0}$を$V_{0}$,$R$,$C$,$\omega$を用いて表せ.

(5) $i(t)$を$V_{0}$,$R$,$C$,$\omega$,$t$,$\delta$を用いて表せ.

<解答>

NEKO
NEKO

交流の問題は次のことをおさえておきましょう.

交流と回路素子

● 最大値について

回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$,流れる電流の最大値を$I_{0}$,リアクタンス(または抵抗)を$Z$とする.

このとき,次の関係が成り立つ.

$V_{0}=ZI_{0}$

$Z$は回路素子できまる.各周波数を$\omega$として

抵抗値$R$の抵抗のとき,$Z=R$

電気容量$C$のコンデンサーのとき,$Z=\dfrac{1}{\omega C}$

自己インダクタンス$L$のコイルのとき,$Z=\omega L$

● 位相のずれについて

1)電圧に対する電流の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

2)電流に対するで電圧の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

(1)

NEKO
NEKO

抵抗を流れる電流が$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$と設定されているときの電圧$V_{\rm R}(t)$を求めます.

抵抗にかかる電圧の位相と電流の位相は同じです.

また,電圧の最大値$V_{\rm R0}$,$i_{0}$,$R$には次の関係が成り立ちます.

$V_{\rm R0}=Ri_{0}$

以上のことから,$V_{\rm R}(t)$は次のようになります.

$V_{\rm R}(t)=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

さらに,コンデンサーも同じ電流$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$が流れます.

コンデンサーにかかる電圧の位相は,電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れます.コンデンサーはコンデンサーの式

$Q=CV$

がいつの時刻でも成り立ちます.

コンデンサーに電流が流れた後に電荷が変化するイメージをもっておきましょう.

また,コンデンサーにかかる電圧の最大値$V_{\rm C0}$と角周波数$\omega$,電気容量$C$,電流の最大値$i_{0}$には,以下の関係が成り立ちます.

$V_{\rm C0}=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}$

以上より,コンデンサーにかかる電圧$V_{\rm C}(t)$は次のようになります.

$\eqalign{V_{\rm C}(t)&=\dfrac{i_{0}}{\omega C}\sin(\omega t+\phi-\dfrac{\pi}{2})\\&=-\dfrac{i_{0}}{\omega C}\cos(\omega t+\phi)}$ (答)

(3)

NEKO
NEKO

電圧降下の式より

$V(t)=V_{\rm R}(t)+V_{\rm C}(t)$

となります.

三角関数の合成の式を使って,$\sin$にまとめましょう.

すると,$V(t)=V_{0}\sin\omega t$と比較しやすくなります.

$\eqalign{V(t)&=V_{\rm R}(t)+V_{\rm C}(t)\\&=Ri_{0}\sin(\omega t+\phi)-\dfrac{i_{0}}{\omega C}\cos(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}\sin(\omega t+\phi -\delta)}$ (答)

ただし,$\tan\delta =\dfrac{\dfrac{1}{\omega C}}{R}=\dfrac{1}{\omega CR}$

NEKO
NEKO

ちなみに回路のインピーダンス$Z$は

$Z=\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}$

です.

(4)(5)

NEKO
NEKO

問題文で与えられた

$V(t)=V_{0}\sin\omega t$

と,(3)で求めた

$V(t)=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}\sin(\omega t+\phi -\delta)$

を比較しましょう.

★ 最大値部分の比較

$V_{0}=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}$

$\therefore i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}$ (4)の(答)

★ 位相部分の比較

$\omega t=\omega t+\phi -\delta$

$\therefore$ $\phi =\delta$

$i_{0}=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}$と$\phi =\delta$を$i(t)=i_{0}\sin(\omega t+\phi)$に代入すると

$i(t)=\dfrac{V_{0}}{\sqrt{R^{2}+(\dfrac{1}{\omega C})^{2}}}\sin(\omega t+\delta)$ (5)の(答)

ただし,$\tan\delta =\dfrac{1}{\omega CR}$

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