交流演習RL直列回路① 電流が与えられるとき

分野別
問題

上図のように抵抗値$R$の抵抗と,自己インダクタンス$L$のコイルを直列につなげ,交流電源に接続した.図の向きに$i(t)=i_{0}\sin\omega t$の電流が流れているとき,次の問いに答えよ.

ただし,$i_{0}>0$であり,$\omega$は角周波数である.

(1) Bに対するAの電位$V_{\rm R}$を求めよ.

(2) Gに対するBの電位$V_{\rm L}$を求めよ.

(3) Gに対するAの電位$V(t)$を求めよ.

(4) この回路のインピーダンス$Z$を求めよ.

(5) この回路の平均消費電力$\bar{P}$を求めよ.

<解答>

NEKO
NEKO

まずは次のことを確認しましょう.

交流と回路素子

● 最大値について

回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$,流れる電流の最大値を$I_{0}$,リアクタンス(または抵抗)を$Z$とする.

このとき,次の関係が成り立つ.

$V_{0}=ZI_{0}$

$Z$は回路素子できまる.各周波数を$\omega$として

抵抗値$R$の抵抗のとき,$Z=R$

電気容量$C$のコンデンサーのとき,$Z=\dfrac{1}{\omega C}$

自己インダクタンス$L$のコイルのとき,$Z=\omega L$

● 位相のずれについて

1)電圧に対する電流の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

2)電流に対するで電圧の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

NEKO
NEKO

抵抗に電流$i(t)$が流れていることがわかっています.

このとき,抵抗にかかる電圧の位相は電流の位相と同じです.

また,電圧の最大値$V_{\rm R0}$は

$V_{\rm R0}=Ri_{0}$

から求めることができます.

$\eqalign{V_{R}&=V_{\rm R0}\sin\omega t\\&=Ri_{0}\sin\omega t}$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

コイルにかかる電圧は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$進みます.

さらに,誘導リアクタンスが$\omega L$なので,コイルにかかる電圧の最大値$V_{\rm L0}$は

$V_{\rm L0}=\omega Li_{0}$

となります.

$\eqalign{V_{L}&=V_{\rm L0}\sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&=\omega Li_{0}\cos \omega t}$ (答)

(3) 

NEKO
NEKO

キルヒホッフ則より,

$V(t)=V_{\rm R}+V_{\rm L}$

です.

式は三角関数の合成をつかってまとめましょう.

$\eqalign{V(t)&=V_{\rm R}+V_{\rm L}\\&=Ri_{0}\sin \omega t+\omega Li_{0}\cos \omega t\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\sin(\omega t+\phi)}$ (答)

ただし,$\tan \phi =\dfrac{\omega L}{R}$

(4) 

NEKO
NEKO

(3)より,交流電源にかかる電圧の最大値$V_{0}$は

$V_{0}=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}$

です.

インピーダンス

回路全体にかかる電圧の最大値を$V_{0}$,電流の最大値を$I_{0}$とするとき,インピータンス$Z$は次のように決める.

$Z=\dfrac{V_{0}}{I_{0}}$

NEKO
NEKO

したがって,回路のインピーダンス$Z$は

$Z=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}$ (答)

となります.

(5) 

NEKO
NEKO

回路の消費電力$P(t)$は

$P(t)=V(t)i(t)$

です.

平均消費電力を求めやすくするように,

$V(t)=Ri_{0}\sin\omega t+\omega Li_{0}\cos\omega t$

を採用しましょう.

$\eqalign{P(t)&=V(t)i(t)\\&=(Ri_{0}\sin\omega t+\omega Li_{0}\cos\omega t)\cdot i_{0}\sin\omega t\\&=Ri_{0}^{2}\sin^{2}\omega t+\omega Li_{0}^{2}\sin\omega t \cos\omega t}$

NEKO
NEKO

ここで,$\sin\omega t\cos\omega t=\dfrac{1}{2}\sin 2\omega t$

(倍角の式)の時間平均は0,$\sin^{2}\omega t$の時間平均は$\dfrac{1}{2}$となります.

$\bar{P}=\dfrac{i_{0}^{2}}{2R}$ (答)

コメント

  1. […] […]