上図のように抵抗値$R$の抵抗と，自己インダクタンス$L$のコイルを直列につなげ，交流電源に接続した．図の向きに$i(t)=i_{0}\sin\omega t$の電流が流れているとき，次の問いに答えよ．
ただし，$i_{0}>0$であり，$\omega$は角周波数である．
(1) Bに対するAの電位$V_{\rm R}$を求めよ．
(2) Gに対するBの電位$V_{\rm L}$を求めよ．
(3) Gに対するAの電位$V(t)$を求めよ．
(4) この回路のインピーダンス$Z$を求めよ．
(5) この回路の平均消費電力$\bar{P}$を求めよ．
＜解答＞
まずは次のことを確認しましょう．
● 最大値について
回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$，流れる電流の最大値を$I_{0}$，リアクタンス（または抵抗）を$Z$とする．
このとき，次の関係が成り立つ．
$V_{0}=ZI_{0}$
$Z$は回路素子できまる．各周波数を$\omega$として
抵抗値$R$の抵抗のとき，$Z=R$
電気容量$C$のコンデンサーのとき，$Z=\dfrac{1}{\omega C}$
自己インダクタンス$L$のコイルのとき，$Z=\omega L$
● 位相のずれについて
1）電圧に対する電流の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
2)電流に対するで電圧の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
抵抗に電流$i(t)$が流れていることがわかっています．
このとき，抵抗にかかる電圧の位相は電流の位相と同じです．
また，電圧の最大値$V_{\rm R0}$は
$V_{\rm R0}=Ri_{0}$
から求めることができます．
$\eqalign{V_{R}&=V_{\rm R0}\sin\omega t\\&=Ri_{0}\sin\omega t}$ (答)
(2)
コイルにかかる電圧は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$進みます．
さらに，誘導リアクタンスが$\omega L$なので，コイルにかかる電圧の最大値$V_{\rm L0}$は
$V_{\rm L0}=\omega Li_{0}$
となります．
$\eqalign{V_{L}&=V_{\rm L0}\sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&=\omega Li_{0}\cos \omega t}$ (答)
(3)
キルヒホッフ則より，
$V(t)=V_{\rm R}+V_{\rm L}$
です．
式は三角関数の合成をつかってまとめましょう．
$\eqalign{V(t)&=V_{\rm R}+V_{\rm L}\\&=Ri_{0}\sin \omega t+\omega Li_{0}\cos \omega t\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}\sin(\omega t+\phi)}$ (答)
ただし，$\tan \phi =\dfrac{\omega L}{R}$
(4)
(3)より，交流電源にかかる電圧の最大値$V_{0}$は
$V_{0}=i_{0}\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}$
です．
回路全体にかかる電圧の最大値を$V_{0}$，電流の最大値を$I_{0}$とするとき，インピータンス$Z$は次のように決める．
$Z=\dfrac{V_{0}}{I_{0}}$
したがって，回路のインピーダンス$Z$は
$Z=\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}$ (答)
となります．
(5)
回路の消費電力$P(t)$は
$P(t)=V(t)i(t)$
です．
平均消費電力を求めやすくするように，
$V(t)=Ri_{0}\sin\omega t+\omega Li_{0}\cos\omega t$
を採用しましょう．
$\eqalign{P(t)&=V(t)i(t)\\&=(Ri_{0}\sin\omega t+\omega Li_{0}\cos\omega t)\cdot i_{0}\sin\omega t\\&=Ri_{0}^{2}\sin^{2}\omega t+\omega Li_{0}^{2}\sin\omega t \cos\omega t}$
ここで，$\sin\omega t\cos\omega t=\dfrac{1}{2}\sin 2\omega t$
(倍角の式)の時間平均は0，$\sin^{2}\omega t$の時間平均は$\dfrac{1}{2}$となります．
$\bar{P}=\dfrac{i_{0}^{2}}{2R}$ (答)
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