ドップラー効果演習2 風が吹く

分野別
問題

振動数$f_{0}[\rm Hz]$の音源をもった青の人と,観測者である緑の人がいる.

一直線上の運動のみを考えるとき,次の各々の場合について,緑の人(観測者)の観測する振動数$f[\rm Hz]$を求めよ.

ただし,音速は$V[\rm m/s]$で一定であり,風の速さを$W[\rm m/s]$とし,風の向きは青矢印の向きである.

(1) 音源をもった青の人が右方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き,観測者である緑の人が静止しているとき.

(2) 音源をもった青の人が静止していて,観測者である緑の人が左方向に速さ$u[\rm m/s]$で動いているとき.

(3) 音源をもった青の人が右方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き,観測者である緑の人が右方向に速さ$u[\rm m/s]$で動くとき.

(4) 音源をもった青の人が左方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き,観測者である緑の人が右方向に速さ$u[\rm m/s]$で動くとき.

(5) 音源をもった青の人が右方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き,観測者である緑の人が左方向に速さ$u[\rm m/s]$で動くとき.

PHYさん
PHYさん

風の速度と音の速度を合成して考えましょう.

ドップラー効果

観測者が観測する振動数$f[\rm Hz]$は「$1 \rm s$間で観測者が受け取る波の数」を意味する.

波の数は次のように表すことができる.

波の数

波の波長を$\lambda$(波1個分の長さ),波の個数を$N$,波全体の長さを$\Delta L$とすると,次の関係式が成り立つ.

$\Delta L=N\cdot \lambda$

$\therefore N=\dfrac{\Delta L}{\lambda}$

このことから,

$f=\dfrac{1{\rm s}で受け取る波の長さ }{波の波長}$

で観測者が観測する振動数を求める.

以下,音源の振動数を$f_{0}$,音速を$V[\rm m/s]$,音源の速さを$v[\rm m/s]$,観測者の速さを$u[\rm m/s]$とする.

★ $1\rm s$で受けとる波の長さ

① 観測者が動かないとき→ $V\cdot 1$

② 観測者が音源に向かっているとき→ $(V+u)\cdot 1$

③ 観測者が音源から遠ざかっているとき→ $(V-u)\cdot 1$

★ 波の波長

① 音源が動かないとき→ $\dfrac{V}{f_{0}}$

② 音源の進行方向の波長→ $\dfrac{V-v}{f_{0}}$

① 音源の進行方向と逆の波長→ $\dfrac{V+v}{f_{0}}$

(1) 

NEKO
NEKO

音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は

$\lambda^{\prime}=\dfrac{V-W-v}{f_{0}}$

に縮まっていますね.

また,観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は

$L=(V-W)\cdot 1$

以上より,観測者が観測する振動数$f$は

$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V-W}{\dfrac{V-W-v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V-W}{V-W-v}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は

$\lambda^{\prime}=\dfrac{V+W}{f_{0}}$

で変化していません.

また,観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は

$L=(V+W+u)\cdot 1$

以上より,観測者が観測する振動数$f$は

$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V+W+u}{\dfrac{V+W}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V+W+u}{V+W}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)

(3)

NEKO
NEKO

音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は

$\lambda^{\prime}=\dfrac{V+W-v}{f_{0}}$

に縮みます.

また,観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は

$L=(V+W-u)\cdot 1$

以上より,観測者が観測する振動数$f$は

$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V+W-u}{\dfrac{V+W-v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V+W-u}{V+W-v}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)

(4)

NEKO
NEKO

音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は

$\lambda^{\prime}=\dfrac{V-W+v}{f_{0}}$

に伸びます.

また,観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は

$L=(V-W-u)\cdot 1$

以上より,観測者が観測する振動数$f$は

$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V-W-u}{\dfrac{V-W+v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V-W-u}{V-W+v}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)

(5) 

NEKO
NEKO

音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は

$\lambda^{\prime}=\dfrac{V-W-v}{f_{0}}$

に縮みます.

また,観測者が$1\rm s$に受け取る波の長さ$L$は

$L=(V-W+u)\cdot 1$

以上より,観測者が観測する振動数$f$は

$\eqalign{f&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V-W+u}{\dfrac{V-W-v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V-W+u}{V-W-v}f_{0}[\rm Hz]}$ (答)

コメント

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