[1]
図1のように，正三角形$\rm ABC$の辺に沿って，質量$m$の質点が速さ$v$で$\rm A\rightarrow \rm B\rightarrow \rm C$の向きにまわっている．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 点$\rm A$で質点が受ける力積の向きを図にかけ．
(2) 点$\rm A$で受ける力積の大きさを求めよ．
[2]
図2のように，正方形${\rm ABCD}$の辺に沿って，質量$m$の質点が速さ$v$で${\rm A}\rightarrow {\rm B}\rightarrow {\rm C}\rightarrow {\rm D}$の向きにまわっている．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 点$\rm A$で質点が受ける力積の向きを図にかけ．
(2) 点$\rm A$で受ける力積の大きさを求めよ．
＜解答＞
時間$\varDelta t$の間の速度の変化を$\varDelta \vec{v}$とする．質量を$m$とすると
$m\varDelta \vec{v}=$力積
の関係がある．
[1]
(1)の図示は次のようになります．(答)
今回は，2次元の問題なので，ベクトルの成分表示を使って計算してみましょう．
${\rm C\rightarrow A\rightarrow B}$と移動するなかで，$\rm A$で方向転換する前の速度ベクトルを$\overrightarrow{v_{\rm A1}}$，転換後の速度ベクトルを$\overrightarrow{v_{\rm A2}}$とすると，運動量変化$\varDelta I$は
$\varDelta I=m\overrightarrow{v_{\rm A2}}-m\overrightarrow{v_{\rm A1}}$
となります．
これを成分表示してみると，次のようになります．$x$，$y$方向の正の方向は下図の向きとします．
$\overrightarrow{v_{\rm A1}}=\left(-\dfrac{1}{2}v , \dfrac{\sqrt{3}}{2}v\right)$，$\overrightarrow{v_{\rm A2}}=\left(-\dfrac{1}{2}v , -\dfrac{\sqrt{3}}{2}v\right)$より
$\eqalign{\varDelta I&=m\overrightarrow{v_{\rm A2}}-m\overrightarrow{v_{\rm A1}}\\&=m\left(-\dfrac{1}{2}v , -\dfrac{\sqrt{3}}{2}v\right)-m\left(-\dfrac{1}{2}v , \dfrac{\sqrt{3}}{2}v\right)\\&=(0 , -\sqrt{3}mv)}$
運動量変化が$y$軸の負の向きに$\sqrt{3}mv$なので，質点が受ける力積の大きさも$\sqrt{3}mv$(答)
[2]
(1)の図示は上のようになります．(答)
この問題も，ベクトルの成分表示を使って計算してみましょう．
${\rm C\rightarrow A\rightarrow B}$と移動するなかで，$\rm A$で方向転換する前の速度ベクトルを$\overrightarrow{v_{\rm A1}}$，転換後の速度ベクトルを$\overrightarrow{v_{\rm A2}}$とすると，運動量変化$\varDelta I$は
$\varDelta I=m\overrightarrow{v_{\rm A2}}-m\overrightarrow{v_{\rm A1}}$
となります．
これを成分表示してみると，次のようになります．$x$，$y$方向の正の方向は下図の向きとします．
$\overrightarrow{v_{\rm A1}}=(-v , 0)$，$\overrightarrow{v_{\rm A2}}=(0 , -v)$より
$\eqalign{\varDelta I&=m\overrightarrow{v_{\rm A2}}-m\overrightarrow{v_{\rm A1}}\\&=m(0 , -v)-m(-v , 0)\\&=(mv , -mv)}$
運動量変化が$(mv , -mv)$なので，力積も$(mv , -mv)$です．
その大きさは，$\sqrt{2}mv$(答)
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