力のモーメント演習2

分野別
問題

水平であらい床と,鉛直でなめらかな壁に長さ$l$で質量が$m$であり,一様な密度の板が立てかけられている.板と床とのなす角が$\theta(0<\theta<\dfrac{\pi}{2})$のとき,板は静止していた.重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ.

(1) 図の点$\rm A$において,板にはたらく垂直抗力の大きさを$N$,摩擦力の大きさを$f$,点$\rm B$にはたらく垂直抗力の大きさを$R$とする.板に関する水平方向と鉛直方向それぞれのつり合いの式を立てよ.

(2) 点$\rm A$まわりの力のモーメントのつり合いの式を立て,$R$を$m$,$g$を用いて表せ.

(3) 床と板との間の静止摩擦係数を$\mu$とする.板が静止する条件を$\mu$と$\theta$を用いて表せ.

<解答>

(1)

PHYさん
PHYさん

板にはたらく力を図示すると上のようになります.

★ 水平方向のつり合いの式

$R=f$ $\dots (\ast)$ (答)

★ 鉛直方向のつり合いの式

$N=mg$ $\dots (2\ast)$ (答)

(2)

PHYさん
PHYさん

次に力のモーメントのつり合いの式を立てます.

力のモーメント

中心$\rm O$から距離$r$の点$\rm A$を始点とした大きさ$F$の力がはたらいている.この力の$\rm OA$方向の成分を$F_{1}$,$\rm OA$に垂直な成分を$F_{2}$とすると,力$F$の点$\rm O$まわりの力のモーメントの大きさ$N$は

$N=rF_{2}$

作用線平行移動の原理

中心を$\rm O$とし,ある始点にはたらく力のモーメントを計算するとき,力の作用線上のどこに移動させても力のモーメントは同じである.

PHYさん
PHYさん

点$\rm A$から板の重力の作用線に向かって垂線を引き,その交点を$\rm H_{1}$とし,同じく点$\rm A$から垂直抗力$R$の作用線に向かって垂線を引き,その交点を$\rm H_{2}$とします.

それぞれの力の始点を$\rm H_{1}$,$\rm H_{2}$まで移動することで,中心を$\rm A$としたときの力は垂直成分のみとなります.

PHYさん
PHYさん

上図より,

${\rm AH_{1}}=\dfrac{l}{2}\cos\theta$

${\rm AH_{2}}=l\sin\theta$

から,力のモーメントのつり合いの式を立てましょう.

★ 力のモーメントのつり合いの式

$\eqalign{{\rm AH_{1}}\cdot mg&={\rm AH_{2}}\cdot R\cr \dfrac{l}{2}\cos\theta \cdot mg&=l\sin\theta \cdot R\cr R&=\dfrac{\cos\theta}{2\sin\theta}mg=\dfrac{mg}{2\tan\theta}}$

したがって,$R=\dfrac{mg}{2\tan\theta}$(答)

(3)

NEKO
NEKO

$(\ast)$と(2)より

$f=R=\dfrac{mg}{2\tan\theta}$

だね.また,$(2\ast)$より,床と板の間の垂直抗力の大きさが$N=mg$となります.板がすべらないためには,静止摩擦力が最大静止摩擦力より小さければよいね.つまり

$f<\mu N$

より

$\dfrac{mg}{2\tan\theta}<\mu mg$

$\therefore \dfrac{1}{2\tan\theta}<\mu$ (答)

すべらない条件

物体がすべらない条件は,静止摩擦力が最大静止摩擦力より小さいときである.

静止摩擦力の大きさを$f$,静止摩擦係数を$\mu$,摩擦力がはたらく面の垂直抗力の大きさを$N$とすれば

$f<\mu N$

の条件を満たせば面に対してすべらない.

コメント

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