運動量保存則演習2 １次元の板と物体の運動

問題

図のように，水平でなめらかな床の上に質量$M$の十分長い板が置かれている．板の上に質量$m$の物体を置き，物体にのみ初速度$v_{0}$を水平方向に与えた．

初速を与えてから十分時間が経った後，物体と板の速度は$V$となった．

物体と板の動摩擦係数を$\mu$，重力加速度の大きさを$g$として，次の問いに答えよ．

(1)　物体が板上を動いているとき，物体の加速度を$a$，板の加速度を$A$をする．このとき，物体と板に関する運動方程式をそれぞれ立てよ．ただし，加速度の向きは図の右向きを正とする．

(2)　(1)のとき，時間$\varDelta t$の間の物体の速度変化を$\varDelta v$，板の速度変化を$\varDelta V$として，物体と板を対象とした運動量が保存することを示せ．

(3)　運動量保存則より，$V$を$m$，$M$，$v_{0}$を用いて表せ．

(4)　物体に初速を与えてから，同じ速度$V$になるまでに，物体が板上を動いた距離$L$を$m$，$M$，$\mu$，$g$，$v_{0}$を用いて表せ．

<解答>

(1)　

NEKO

物体にはたらく水平方向の力は図の左向きに大きさ$\mu mg$の動摩擦力がはたらき，板には右向きに，大きさ$\mu mg$の動摩擦力がはたらきます．

★　物体の運動方程式

$ma=-\mu mg$　$(\ast)$　(答)

★　板の運動方程式

$MA=\mu mg$　$(2\ast)$　(答)

(2)　$(\ast)+(2\ast)$より

$ma+MA=0$　

$a=\dfrac{\varDelta v}{\varDelta t}$，$A=\dfrac{\varDelta V}{\varDelta t}$を上式に代入すると

$m\dfrac{\varDelta v}{\varDelta t}+M\dfrac{\varDelta V}{\varDelta t}=0$

$\therefore　m\varDelta v+M\varDelta V=0$

したがって，運動量変化（質量×速度変化）は0である．(答)

(3)

NEKO

(2)より，物体と板を対象とすると，運動量が保存します．

運動量保存則

質量$m_{1}$の物体1と質量$m_{2}$の物体2の速度を$v_{1}$，$v_{2}$とする．

物体1と物体2の力積の和が0のとき，次の式が成り立つ．

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=$一定

これを運動量保存則という．

運動量保存則は次のようなときに立てることが多い．

．2つ以上の物体の運動

・水平方向の成分の力の和が0のとき

・鉛直方向であっても，空中衝突や空中分裂などの，非常に短い時間で外力がはたらく場合は，近似的に運動量保存則を立てる．

★　運動量保存則

$mv_{0}+M\cdot 0=(M+m)V$

$\therefore　V=\dfrac{m}{M+m}v_{0}$　(答)

(4)

エネルギーの原理の式

質量$m$の物体のAでの速さを$v_{\rm A}$，Bでの速さを$v_{\rm B}$とする．

AB間で外力が物体にした仕事を$W_{\rm AB}$とすると，次の関係が成り立つ．

$\dfrac{1}{2}mv_{\rm A}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{\rm B}^{2}=W_{\rm AB}$

仕事

力×変位を仕事という．

しかし，等加速度運動の式から導いたことから，次のルールが加わる．

①　力は一定である．もし一定でないのであれば，一定とみなせるくらい細かく分解して足し合わせる（積分する．）．

②　力の方向と移動する方向が一致する場合は正の仕事，反対方向の場合は負の仕事である．

③　力の方向と移動する方向が一直線上にない場合は，仕事の大きさについて次のどちらかで計算をする．

力×力の方向に移動した距離　で計算．
力を移動する方向に分解して計算

NEKO

物体と板それぞれについて，エネルギーの原理の式を立てましょう．

物体が移動した距離を$x$，板が移動した距離を$X$としましょう．

★　物体に関するエネルギーの原理の式

$\dfrac{1}{2}mV^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=-\mu mgx$　$\dots　(\ast)$

★　板に関するエネルギーの原理の式

$\dfrac{1}{2}MV^{2}-\dfrac{1}{2}M\cdot 0^{2}=\mu mg X$　$\dots　(2\ast)$

$(\ast)+(2\ast)$より

$\dfrac{1}{2}(M+m)V^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=-\mu mg(x-X)$　$\dots　(\clubsuit)$

NEKO

求める距離は$L=x-X$だね．

$(\clubsuit)$の式に$V=\dfrac{m}{M+m}v_{0}$を代入してみましょう．

$\eqalign{\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}&=-\mu mgL \cr \dfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}}{M+m}v_{0}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}&=-\mu mg L \cr \mu gL&=\dfrac{M}{2(M+m)}v_{0}^{2} \cr L&=\dfrac{M}{2\mu g(M+m)}v_{0}^{2}}$

したがって，$L=\dfrac{M}{2\mu g(M+m)}v_{0}^{2}$(答)