運動量保存則演習2 1次元の板と物体の運動

分野別
問題

図のように,水平でなめらかな床の上に質量$M$の十分長い板が置かれている.板の上に質量$m$の物体を置き,物体にのみ初速度$v_{0}$を水平方向に与えた.

初速を与えてから十分時間が経った後,物体と板の速度は$V$となった.

物体と板の動摩擦係数を$\mu$,重力加速度の大きさを$g$として,次の問いに答えよ.

(1) 物体が板上を動いているとき,物体の加速度を$a$,板の加速度を$A$をする.このとき,物体と板に関する運動方程式をそれぞれ立てよ.ただし,加速度の向きは図の右向きを正とする.

(2) (1)のとき,時間$\varDelta t$の間の物体の速度変化を$\varDelta v$,板の速度変化を$\varDelta V$として,物体と板を対象とした運動量が保存することを示せ.

(3) 運動量保存則より,$V$を$m$,$M$,$v_{0}$を用いて表せ.

(4) 物体に初速を与えてから,同じ速度$V$になるまでに,物体が板上を動いた距離$L$を$m$,$M$,$\mu$,$g$,$v_{0}$を用いて表せ.

<解答>

(1) 

NEKO
NEKO

物体にはたらく水平方向の力は図の左向きに大きさ$\mu mg$の動摩擦力がはたらき,板には右向きに,大きさ$\mu mg$の動摩擦力がはたらきます.

★ 物体の運動方程式

$ma=-\mu mg$ $(\ast)$ (答)

★ 板の運動方程式

$MA=\mu mg$ $(2\ast)$ (答)

(2) $(\ast)+(2\ast)$より

$ma+MA=0$ 

$a=\dfrac{\varDelta v}{\varDelta t}$,$A=\dfrac{\varDelta V}{\varDelta t}$を上式に代入すると

$m\dfrac{\varDelta v}{\varDelta t}+M\dfrac{\varDelta V}{\varDelta t}=0$

$\therefore m\varDelta v+M\varDelta V=0$

したがって,運動量変化(質量×速度変化)は0である.(答)

(3)

NEKO
NEKO

(2)より,物体と板を対象とすると,運動量が保存します.

運動量保存則

質量$m_{1}$の物体1と質量$m_{2}$の物体2の速度を$v_{1}$,$v_{2}$とする.

物体1と物体2の力積の和が0のとき,次の式が成り立つ.

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=$一定

これを運動量保存則という.

運動量保存則は次のようなときに立てることが多い.

2つ以上の物体の運動

水平方向の成分の力の和が0のとき

鉛直方向であっても,空中衝突や空中分裂などの,非常に短い時間で外力がはたらく場合は,近似的に運動量保存則を立てる.

★ 運動量保存則

$mv_{0}+M\cdot 0=(M+m)V$

$\therefore V=\dfrac{m}{M+m}v_{0}$ (答)

(4)

エネルギーの原理の式

質量$m$の物体のAでの速さを$v_{\rm A}$,Bでの速さを$v_{\rm B}$とする.

AB間で外力が物体にした仕事を$W_{\rm AB}$とすると,次の関係が成り立つ.

$\dfrac{1}{2}mv_{\rm A}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{\rm B}^{2}=W_{\rm AB}$

仕事

力×変位を仕事という.

しかし,等加速度運動の式から導いたことから,次のルールが加わる.

① 力は一定である.もし一定でないのであれば,一定とみなせるくらい細かく分解して足し合わせる(積分する.).

② 力の方向と移動する方向が一致する場合は正の仕事,反対方向の場合は負の仕事である.

③ 力の方向と移動する方向が一直線上にない場合は,仕事の大きさについて次のどちらかで計算をする.

  • 力×力の方向に移動した距離 で計算.
  • 力を移動する方向に分解して計算
NEKO
NEKO

物体と板それぞれについて,エネルギーの原理の式を立てましょう.

物体が移動した距離を$x$,板が移動した距離を$X$としましょう.

★ 物体に関するエネルギーの原理の式

$\dfrac{1}{2}mV^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=-\mu mgx$ $\dots (\ast)$

★ 板に関するエネルギーの原理の式

$\dfrac{1}{2}MV^{2}-\dfrac{1}{2}M\cdot 0^{2}=\mu mg X$ $\dots (2\ast)$

$(\ast)+(2\ast)$より

$\dfrac{1}{2}(M+m)V^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=-\mu mg(x-X)$ $\dots (\clubsuit)$

NEKO
NEKO

求める距離は$L=x-X$だね.

$(\clubsuit)$の式に$V=\dfrac{m}{M+m}v_{0}$を代入してみましょう.

$\eqalign{\dfrac{1}{2}(M+m)\left(\dfrac{m}{M+m}v_{0}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}&=-\mu mgL \cr \dfrac{1}{2}\dfrac{m^{2}}{M+m}v_{0}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}&=-\mu mg L \cr \mu gL&=\dfrac{M}{2(M+m)}v_{0}^{2} \cr L&=\dfrac{M}{2\mu g(M+m)}v_{0}^{2}}$

したがって,$L=\dfrac{M}{2\mu g(M+m)}v_{0}^{2}$(答)

コメント

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