床との衝突1 床との衝突(1回のみ)

力学
問題

図のように,質量$m$の物体を水平でなめらかな床から高さ$h$の場所までもっていき,静かにはなした.物体と床とのはねかえり係数を$e(0<e<1)$とし,重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ.

(1) 物体が1回目の衝突をする直前の速さ$v_{1}$を求めよ.

(2) 物体を静かにはなしてから1回目の衝突をするまでの時間$t_{0}$を求めよ.

(3) 物体が1回目の衝突をした直後の速さ$v_{1}^{\prime}$を求めよ.

(4) 物体が1回目の衝突をした後,最高点に達した.このときの床からの高さ$h_{1}$を求めよ.

(5) 物体が1回目の衝突をしてから,最高点に達するまでの時間$t_{1}$を求めよ.

(6) 物体が2回目に衝突直前の速さ$v_{2}$を求めよ. 

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

力学的エネルギー保存則で求めましょう.

床の高さを重力による位置エネルギーの基準点にします.

すると,高さ$h$の場所にあるときの物体の重力による位置エネルギーは$mgh$,運動エネルギーは,はじめ静止していたため$0$.

1回目の衝突直前の運動エネルギーは,速さを$v_{1}$として,$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}$,位置エネルギーは基準点なので$0$です.

★ 力学的エネルギー保存則

$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+0=0+mgh$

$\therefore v_{1}=\sqrt{2gh}$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

時間は等加速度運動の式をつかって計算しましょう.

等加速度運動の式

物体は加速度$a$で$x$軸上を運動している.$t=0$において,原点にある物体が,時刻$t$に座標$x$に移動した.初速度を$v_{0}$,時刻$t$における速度を$v$とするとき,次の関係式が成り立つ.

$v=v_{0}+at$ $\dots (\ast)$

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$ $\dots (2\ast)$

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\dots (3\ast)$

NEKO
NEKO

上の$(2\ast)$の式について,$x=h$,$v_{0}=0$,$a=g$,$t=t_{0}$を代入します.

★ 等加速度運動の式

$h=\dfrac{1}{2}gt_{0}^{2}$

$\therefore t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ (答)

(3) 

NEKO
NEKO

はねかえり係数の式を使って求めます.

床や壁のように,動かないものとの衝突の場合は,反発係数を$e$として,衝突によって速度が$-e$倍になります.

つまり,速さは$e$倍になります.

はねかえり係数の式

衝突前の物体の速度を$v_{1}$,$v_{2}$,衝突後の速度を$v_{1}^{\prime}$,$v_{2}^{\prime}$とするとき,はねかえり係数(反発係数)の式を次のように定義する.

$e=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$

$e=1$のときを弾性衝突といい,力学的エネルギーが保存する.

また,$e=0$のときを完全非弾性衝突という.

★ はねかえり係数の式より

$\eqalign{v_{1}^{\prime}&=ev_{1}\\&=e\sqrt{2gh}}$ (答)

NEKO
NEKO

静止している床や壁との衝突では,速さが$e$倍になることは覚えておくと便利です.

(4) 

NEKO
NEKO

1回目の衝突直後の物体とその後の最高点の間の力学的エネルギー保存則を立てます.

衝突直後の重力による位置エネルギーを基準とします.

最高点では,速度が$0$なので,運動エネルギーも$0$です.

★ 力学的エネルギー保存則

$\eqalign{mgh_{1}&=\dfrac{1}{2}m(e\sqrt{2gh})^{2}\\&=e^{2}mgh\cr h_{1}&=e^{2}h}$ (答)

NEKO
NEKO

1回の衝突で最高点の高さが$e^{2}$倍になるんだね.

(5) 

NEKO
NEKO

同じく等速度運動の式を使って,$t_{1}$を求めます.

$v=v_{0}+at$の式を使いましょう.

最高点の速度は$0$,鉛直上向きを正方向にとると,加速度は$-g$になります.

★ 等加速度運動の式

$0=e\sqrt{2gh}-gt_{1}$

$\therefore$ $t_{1}=\dfrac{e\sqrt{2gh}}{g}=e\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ (答)

NEKO
NEKO

1回の衝突で最高点に達するまでの時間は$e$倍になるんだね.

(6)

NEKO
NEKO

対称性から$v_{1}^{\prime}=v_{2}$だね.

$v_{2}=e\sqrt{2gh}$(答)

投げ上げ運動と対称性

時刻$t=0$において,速さ$v_{0}$で投げ上げたときの運動を考える.

投げ上げた地点を原点として上向きに$y$座標をとる.

最高点に達する時刻を$T$とする.

時刻$t$における速度$v(t)$と座標$y(t)$について,次の関係が成り立つ.

運動$0\leqq \tau \leqq T$について

$|v(T-\tau)|=|v(T+\tau)|$

$y(T-\tau)=y(T+\tau)$

コメント

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