図のように，質量$m$の物体を水平でなめらかな床から高さ$h$の場所までもっていき，静かにはなした．物体と床とのはねかえり係数を$e(0<e<1)$とし，重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ．
(1) 物体が1回目の衝突をする直前の速さ$v_{1}$を求めよ．
(2) 物体を静かにはなしてから1回目の衝突をするまでの時間$t_{0}$を求めよ．
(3) 物体が1回目の衝突をした直後の速さ$v_{1}^{\prime}$を求めよ．
(4) 物体が1回目の衝突をした後，最高点に達した．このときの床からの高さ$h_{1}$を求めよ．
(5) 物体が1回目の衝突をしてから，最高点に達するまでの時間$t_{1}$を求めよ．
(6) 物体が2回目に衝突直前の速さ$v_{2}$を求めよ．
<解答>
(1)
力学的エネルギー保存則で求めましょう．
床の高さを重力による位置エネルギーの基準点にします．
すると，高さ$h$の場所にあるときの物体の重力による位置エネルギーは$mgh$，運動エネルギーは，はじめ静止していたため$0$．
1回目の衝突直前の運動エネルギーは，速さを$v_{1}$として，$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}$，位置エネルギーは基準点なので$0$です．
★ 力学的エネルギー保存則
$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+0=0+mgh$
$\therefore v_{1}=\sqrt{2gh}$ (答)
(2)
時間は等加速度運動の式をつかって計算しましょう．
物体は加速度$a$で$x$軸上を運動している．$t=0$において，原点にある物体が，時刻$t$に座標$x$に移動した．初速度を$v_{0}$，時刻$t$における速度を$v$とするとき，次の関係式が成り立つ．
$v=v_{0}+at$ $\dots (\ast)$
$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$ $\dots (2\ast)$
$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\dots (3\ast)$
上の$(2\ast)$の式について，$x=h$，$v_{0}=0$，$a=g$，$t=t_{0}$を代入します．
★ 等加速度運動の式
$h=\dfrac{1}{2}gt_{0}^{2}$
$\therefore t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ (答)
(3)
はねかえり係数の式を使って求めます．
床や壁のように，動かないものとの衝突の場合は，反発係数を$e$として，衝突によって速度が$-e$倍になります．
つまり，速さは$e$倍になります．
衝突前の物体の速度を$v_{1}$，$v_{2}$，衝突後の速度を$v_{1}^{\prime}$，$v_{2}^{\prime}$とするとき，はねかえり係数（反発係数）の式を次のように定義する．
$e=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$
$e=1$のときを弾性衝突といい，力学的エネルギーが保存する．
また，$e=0$のときを完全非弾性衝突という．
★ はねかえり係数の式より
$\eqalign{v_{1}^{\prime}&=ev_{1}\\&=e\sqrt{2gh}}$ (答)
静止している床や壁との衝突では，速さが$e$倍になることは覚えておくと便利です．
(4)
1回目の衝突直後の物体とその後の最高点の間の力学的エネルギー保存則を立てます．
衝突直後の重力による位置エネルギーを基準とします．
最高点では，速度が$0$なので，運動エネルギーも$0$です．
★ 力学的エネルギー保存則
$\eqalign{mgh_{1}&=\dfrac{1}{2}m(e\sqrt{2gh})^{2}\\&=e^{2}mgh\cr h_{1}&=e^{2}h}$ (答)
1回の衝突で最高点の高さが$e^{2}$倍になるんだね．
(5)
同じく等速度運動の式を使って，$t_{1}$を求めます．
$v=v_{0}+at$の式を使いましょう．
最高点の速度は$0$，鉛直上向きを正方向にとると，加速度は$-g$になります．
★ 等加速度運動の式
$0=e\sqrt{2gh}-gt_{1}$
$\therefore$ $t_{1}=\dfrac{e\sqrt{2gh}}{g}=e\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ (答)
1回の衝突で最高点に達するまでの時間は$e$倍になるんだね．
(6)
対称性から$v_{1}^{\prime}=v_{2}$だね．
$v_{2}=e\sqrt{2gh}$（答）
時刻$t=0$において，速さ$v_{0}$で投げ上げたときの運動を考える．
投げ上げた地点を原点として上向きに$y$座標をとる．
最高点に達する時刻を$T$とする．
時刻$t$における速度$v(t)$と座標$y(t)$について，次の関係が成り立つ．
運動$0\leqq \tau \leqq T$について
$|v(T-\tau)|=|v(T+\tau)|$
$y(T-\tau)=y(T+\tau)$
コメント
[…] […]