<解答>
(1)
力学的エネルギー保存則で求めましょう.
床の高さを重力による位置エネルギーの基準点にします.
すると,高さ$h$の場所にあるときの物体の重力による位置エネルギーは$mgh$,運動エネルギーは,はじめ静止していたため$0$.
1回目の衝突直前の運動エネルギーは,速さを$v_{1}$として,$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}$,位置エネルギーは基準点なので$0$です.
★ 力学的エネルギー保存則
$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}+0=0+mgh$
$\therefore v_{1}=\sqrt{2gh}$ (答)
(2)
時間は等加速度運動の式をつかって計算しましょう.
上の$(2\ast)$の式について,$x=h$,$v_{0}=0$,$a=g$,$t=t_{0}$を代入します.
★ 等加速度運動の式
$h=\dfrac{1}{2}gt_{0}^{2}$
$\therefore t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ (答)
(3)
はねかえり係数の式を使って求めます.
床や壁のように,動かないものとの衝突の場合は,反発係数を$e$として,衝突によって速度が$-e$倍になります.
つまり,速さは$e$倍になります.
★ はねかえり係数の式より
$\eqalign{v_{1}^{\prime}&=ev_{1}\\&=e\sqrt{2gh}}$ (答)
静止している床や壁との衝突では,速さが$e$倍になることは覚えておくと便利です.
(4)
1回目の衝突直後の物体とその後の最高点の間の力学的エネルギー保存則を立てます.
衝突直後の重力による位置エネルギーを基準とします.
最高点では,速度が$0$なので,運動エネルギーも$0$です.
★ 力学的エネルギー保存則
$\eqalign{mgh_{1}&=\dfrac{1}{2}m(e\sqrt{2gh})^{2}\\&=e^{2}mgh\cr h_{1}&=e^{2}h}$ (答)
1回の衝突で最高点の高さが$e^{2}$倍になるんだね.
(5)
同じく等速度運動の式を使って,$t_{1}$を求めます.
$v=v_{0}+at$の式を使いましょう.
最高点の速度は$0$,鉛直上向きを正方向にとると,加速度は$-g$になります.
★ 等加速度運動の式
$0=e\sqrt{2gh}-gt_{1}$
$\therefore$ $t_{1}=\dfrac{e\sqrt{2gh}}{g}=e\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ (答)
1回の衝突で最高点に達するまでの時間は$e$倍になるんだね.
(6)
対称性から$v_{1}^{\prime}=v_{2}$だね.
$v_{2}=e\sqrt{2gh}$(答)
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