対称性がある回路の合成抵抗2

分野別
問題

抵抗値$R$の7つの電気抵抗を上図のように,抵抗の無視できる導線で結んだ.

(1) BE間の合成抵抗を求めよ.

(2) DF間の合成抵抗を求めよ.

(3) AF間の合成抵抗を求めよ.

オームの法則

抵抗に流れる電流が$I$,電圧を$V$,抵抗値を$R$とするとき,

$V=RI$

が成り立つ.

合成抵抗を求めるときは,$\dfrac{V}{I}$を計算する.

(1)

NEKO
NEKO

Bから電流を流し,Eから電流が流れ出るときについてです.

対称性から,B→A→D→Eに流れる電流と,B→C→F→Eに流れる電流は同じ$i$としましょう.

また,B→Eに流れる電流を$I$とします.

Eの電位を0,Bの電位を$V$として,BE間の合成抵抗は$\dfrac{V}{2i+I}$です.

キルヒホッフ則を立てましょう.

★ B→A→D→Eのキルヒホッフ則

$V-3Ri=0$

$\therefore i=\dfrac{V}{3R}$ $\dots (\ast)$

★ B→Eのキルヒホッフ則

$V-RI=0$

$\therefore I=\dfrac{V}{R}$ $\dots (2\ast)$

$(\ast),(2\ast)$より

$\eqalign{2i+I&=\dfrac{2V}{3R}+\dfrac{V}{R}\\&=\dfrac{5V}{3R}}$

したがって,

$\dfrac{V}{2i+I}=\dfrac{3}{5}R$ (答)

PHYさん
PHYさん

勿論,$3R$,$R$,$3R$の並列合成の式を用いてもよいです.

(2)

NEKO
NEKO

Dから電流が流れ込み,Fから電流がでていくことを考えます.

D→A→Bに流れる電流を$i$,D→Eに流れる電流を$I$とすると,対称性より,B→C→Fに流れる電流が$i$,E→Fに流れる電流が$I$となります.

その結果,BE間には電流が流れません.

Fの電位を0,Dの電位を$V$として,キルヒホッフ則を立てます.

合成抵抗は,$\dfrac{V}{i+I}$となります.

★ D→A→B→C→Fのキルヒホッフ則

$V-4Ri=0$

$\therefore i=\dfrac{V}{4R}$ $\dots (3\ast)$

★ D→E→Fのキルヒホッフ則

$V-2RI=0$

$\therefore I=\dfrac{V}{2R}$ $\dots (4\ast)$

$(3\ast)$,$(4\ast)$より

$\eqalign{i+I&=\dfrac{V}{4R}+\dfrac{V}{2R}\\&=\dfrac{3V}{4R}}$

したがって

$\dfrac{V}{i+I}=\dfrac{4}{3}R$ (答)

(3) 

NEKO
NEKO

Aから電流が流れ込み,Fから電流がでていくことを考えます.

A→Bに流れる電流を$i$,A→D→Eに流れる電流を$I$とすると,対称性より,B→C→Fに流れる電流が$I$,E→Fに流れる電流が$i$となります.

すると,キルヒホッフ第1法則より,BE間に流れる電流は,$i-I$となります.

Fの電位を0,Aの電位を$V$として,キルヒホッフ則を立てます.

合成抵抗は,$\dfrac{V}{i+I}$となります.

★ A→B→C→Fのキルヒホッフ則

$V-Ri-2RI=0$

$\therefore i+2I=\dfrac{V}{R}$ $\dots (5\ast)$

★ A→B→E→Fのキルヒホッフ則

$V-Ri-R(i-I)-Ri=0$

$\therefore 3i+I=\dfrac{V}{R}$ $\dots (6\ast)$

$(5\ast)$,$(6\ast)$より,

$i=\dfrac{V}{5R}$,$I=\dfrac{2V}{5R}$

したがって,合成抵抗は

$\dfrac{V}{i+I}=\dfrac{5}{3}R$ (答)

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