抵抗値$R$の7つの電気抵抗を上図のように，抵抗の無視できる導線で結んだ．
(1) BE間の合成抵抗を求めよ．
(2) DF間の合成抵抗を求めよ．
(3) AF間の合成抵抗を求めよ．
抵抗に流れる電流が$I$，電圧を$V$，抵抗値を$R$とするとき，
$V=RI$
が成り立つ．
合成抵抗を求めるときは，$\dfrac{V}{I}$を計算する．
(1)
Bから電流を流し，Eから電流が流れ出るときについてです．
対称性から，B→A→D→Eに流れる電流と，B→C→F→Eに流れる電流は同じ$i$としましょう．
また，B→Eに流れる電流を$I$とします．
Eの電位を0，Bの電位を$V$として，BE間の合成抵抗は$\dfrac{V}{2i+I}$です．
キルヒホッフ則を立てましょう．
★ B→A→D→Eのキルヒホッフ則
$V-3Ri=0$
$\therefore i=\dfrac{V}{3R}$ $\dots (\ast)$
★ B→Eのキルヒホッフ則
$V-RI=0$
$\therefore I=\dfrac{V}{R}$ $\dots (2\ast)$
$(\ast)，(2\ast)$より
$\eqalign{2i+I&=\dfrac{2V}{3R}+\dfrac{V}{R}\\&=\dfrac{5V}{3R}}$
したがって，
$\dfrac{V}{2i+I}=\dfrac{3}{5}R$ (答)
勿論，$3R$，$R$，$3R$の並列合成の式を用いてもよいです．
(2)
Dから電流が流れ込み，Fから電流がでていくことを考えます．
D→A→Bに流れる電流を$i$，D→Eに流れる電流を$I$とすると，対称性より，B→C→Fに流れる電流が$i$，E→Fに流れる電流が$I$となります．
その結果，BE間には電流が流れません．
Fの電位を0，Dの電位を$V$として，キルヒホッフ則を立てます．
合成抵抗は，$\dfrac{V}{i+I}$となります．
★ D→A→B→C→Fのキルヒホッフ則
$V-4Ri=0$
$\therefore i=\dfrac{V}{4R}$ $\dots (3\ast)$
★ D→E→Fのキルヒホッフ則
$V-2RI=0$
$\therefore I=\dfrac{V}{2R}$ $\dots (4\ast)$
$(3\ast)$，$(4\ast)$より
$\eqalign{i+I&=\dfrac{V}{4R}+\dfrac{V}{2R}\\&=\dfrac{3V}{4R}}$
したがって
$\dfrac{V}{i+I}=\dfrac{4}{3}R$ (答)
(3)
Aから電流が流れ込み，Fから電流がでていくことを考えます．
A→Bに流れる電流を$i$，A→D→Eに流れる電流を$I$とすると，対称性より，B→C→Fに流れる電流が$I$，E→Fに流れる電流が$i$となります．
すると，キルヒホッフ第1法則より，BE間に流れる電流は，$i-I$となります．
Fの電位を0，Aの電位を$V$として，キルヒホッフ則を立てます．
合成抵抗は，$\dfrac{V}{i+I}$となります．
★ A→B→C→Fのキルヒホッフ則
$V-Ri-2RI=0$
$\therefore i+2I=\dfrac{V}{R}$ $\dots (5\ast)$
★ A→B→E→Fのキルヒホッフ則
$V-Ri-R(i-I)-Ri=0$
$\therefore 3i-I=\dfrac{V}{R}$ $\dots (6\ast)$
$(5\ast)$，$(6\ast)$より，
$i=\dfrac{3V}{7R}$，$I=\dfrac{2V}{7R}$
したがって，合成抵抗は
$\dfrac{V}{i+I}=\dfrac{7}{5}R$ (答)
コメント
(3)の問題
3i＋Ｉ=V/Rではなく、3i−Ｉ=V/Rではないでしょうか？
ご指摘ありがとうございます．
訂正します．