図のように面積$S$の4枚の薄い金属板A，B，C，Dが平行に並べてあり，スイッチ$\rm S_{1}$，$\rm S_{2}$と，起電力$V$の電池E，アースが接続されている．AB，BC，CDの距離は$d$，$2d$，$d$であり，$d$は金属板の面積$S$に対して十分小さい．
はじめ，スイッチ$\rm S_{1}$，$\rm S_{2}$は開いており，すべての極板には電荷が蓄えられていなかった．以下，真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とする．
まず，スイッチ$\rm S_{1}$を閉じて十分時間が経過したところ，極板Aには電荷$Q(>0)$が蓄えられた．
(1) AB間，BC間，CD間の電場の大きさ$E_{\rm AB}$，$E_{\rm BC}$，$E_{\rm CD}$を$Q$，$\varepsilon_{0}$，$S$を用いて表せ．
(2) AD間の電位差が$V$であることを用いて，電荷$Q$を$\varepsilon_{0}$，$S$，$d$，$V$を用いて表せ．
次にスイッチ$\rm S_{1}$を開いた後にスイッチ$\rm S_{2}$を閉じて十分時間が経過した．
(3) AB間，BC間，CD間の電場の大きさ$E_{\rm AB}^{\prime}$，$E_{\rm BC}^{\prime}$，$E_{\rm CD}^{\prime}$を$Q$，$\varepsilon_{0}$，$S$を用いて表せ．
(4) Aの電位を$0$としたとき，Dの電位$V_{\rm D}$を$V$を用いて表せ．
<解答>
平面に分布している電荷がつくる電場は次のようになります．
十分に広い平面に一様な電荷$Q$が分布している．
真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$，平面の面積を$S$とするとき，電場の大きさ$E$は
$E=\dfrac{|Q|}{2\varepsilon_{0}S}$
これは，電場が距離によらず一定であることを意味している．
さらに，$+Q$，$-Q$の蓄えられた電荷がつくる電場によって，その内部の電場は$\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$になり，外部の電場は0になります．
Aに電荷$Q$が蓄えられると，Bの左部分に$-Q$が蓄えられ，Bの電荷はもともと0だったので，電荷保存則より，Bの右側部分の電荷は$Q$になります．
すると，Cの左部分は電荷が$-Q$になり，Cの電荷保存則より，Cの右側部分の電荷が$Q$になり，その結果Dの電荷は$-Q$となります．
したがって，
$E_{\rm AB}=E_{\rm BC}=E_{\rm CD}=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$(答)
(2)
電場の大きさと電位差の関係は次のようになります．
電場の大きさを$E$，距離$\Delta x$の電位差を$\Delta V$とするとき，次の関係が成り立つ．
$E=\left|\dfrac{\Delta V}{\Delta x}\right|$
★ キルヒホッフ（電圧降下の式）則
AB間，BC間，CD間の電位差の和が$V$なので，
$\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\cdot d+\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\cdot 2d+\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\cdot d=V$
$\therefore Q=\dfrac{\varepsilon_{0}S}{4d}V$ (答)
(3)
スイッチ$\rm S_{1}$が開かれているので，極板Dの電荷は$-Q$のままです．
すると，Cの右側電荷は$Q$となります．
また，スイッチ$\rm S_{2}$を閉じると，BC間の電位差は0となり，結果Bの右側とCの左側の電荷は0となります．
下図の点線部分の電荷保存則を考えれば，もともと電荷の和が0だったので，Bの左側部分の電荷は$-Q$となり，その結果Aの電荷は$Q$となります．
したがって，
$E_{\rm AB}^{\prime}=E_{\rm CD}^{\prime}=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$(答)
$E_{\rm BC}^{\prime}=0$(答)
(4)
電場がわかったので，電場の大きさと電位差の関係から，キルヒホッフ則を立てます．
★ キルヒホッフ（電圧降下の式）則
$0-\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\cdot d-0\cdot 2d-\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}\cdot d=V_{\rm D}$
$V_{\rm D}=-\dfrac{2Qd}{\varepsilon_{0}S}$
(2)で求めた$Q=\dfrac{\varepsilon_{0}S}{4d}V$を代入して
$V_{\rm D}=-\dfrac{2d}{\varepsilon_{0}S}\cdot \dfrac{\varepsilon_{0}S}{4d}V=-\dfrac{1}{2}V$ (答)
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