気体の混合問題1

分野別
問題

断熱材でできた容器A,容器B,コック,細管が図のようにつながれている.はじめコックが閉じている状態で,容器Aには圧力$P_{0}$,体積$V_{0}$,絶対温度が$T_{0}$の単原子分子理想気体が,容器Bには,圧力$2P_{0}$,体積$3V_{0}$,絶対温度$2T_{0}$の単原子分子理想気体が封入されている.

ある時刻でコックをゆっくと開き,十分時間が経つと,気体が混合され,気体の圧力は$P$,絶対温度は$T$となった.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 容器A , Bの気体を系とした物質量保存則と熱力学第一法則を立てよ.

(2) (1)より,$P$と$T$をそれぞれ,$P_{0}$,$V_{0}$,$T_{0}$から必要なものを用いて表せ.

<解答>

気体の混合問題で立てる式
  • 物質量保存則
  • 熱力学第一法則

(1)

NEKO
NEKO

圧力を$p$,体積を$V$,物質量を$n$,気体定数を$R$,絶対温度を$T$とすると,理想気体の状態方程式を変形すると次のようになります.

まず,物質量保存の式を立てましょう.

化学反応は起こらないと,前後での分子の数は変化しません.

$pV=nRT$

$\therefore n=\dfrac{pV}{RT}$

なので,混合前の容器Aにあった気体の物質量は$\dfrac{P_{0}V_{0}}{RT_{0}}$,容器Bにあった気体の物質量は$\dfrac{2P_{0}\times 3V_{0}}{R\times 2T_{0}}=\dfrac{3P_{0}V_{0}}{RT_{0}}$です.

PHYさん
PHYさん

そして,混合後の圧力は$P$,体積は$V_{0}+3V_{0}=4V_{0}$,絶対温度が$T$なので,物質量の和は

$\dfrac{P\times 4V_{0}}{RT}=\dfrac{4PV_{0}}{RT}$

となります.

★ 物質量保存則

$\dfrac{P\cdot 4\cancel{V_{0}}}{\bcancel{R}T}=\dfrac{P_{0}\cancel{V_{0}}}{\bcancel{R}T_{0}}+\dfrac{2P_{0}\cdot 3\cancel{V_{0}}}{\bcancel{R}2T_{0}}$  (答)

$\therefore\,\, \dfrac{4P}{T}=\dfrac{4P_{0}}{T_{0}}$

$\therefore\,\, \dfrac{P}{T}=\dfrac{P_{0}}{T_{0}}$ $\cdots (\ast)$

NEKO
NEKO

熱力学第一法則を確認しましょう.

今回は,断熱容器でできていて,容器A,Bの外部との熱のやりとりはないため,$Q=0$です.

また,容器A,Bは変形もしないようなので,気体がする仕事も0です.

(力は加えますが,動かさないと仕事は0)

つまり,内部エネルギー変化は0となります.

熱力学第一法則

内部エネルギーの変化を$\Delta U$,気体が吸収する熱量を$Q$,気体がした仕事を$W$とすると

$Q=\Delta U+W$

NEKO
NEKO

また,単原子分子理想気体の内部エネルギーの式は以下のようになります.

理想気体の内部エネルギーの式

圧力が$p$,体積が$V$,物質量が$n$モル,絶対温度が$T$,気体定数$R$のとき,

★ 一般的な理想気体の内部エネルギー$U$

定積モル比熱を$C_{V}$とすると,

$U=n\times C_{V}\times T$

★ 特に単原子分子理想気体の内部エネルギー$U$は

$C_{V}=\dfrac{3}{2}R$として,

$U=\dfrac{3}{2}nRT$

また,状態方程式$pV=nRT$より

$U=\dfrac{3}{2}pV$

でもよい.(※ ただ,分圧や絶対温度について勘違いする人が多いので,$U=\dfrac{3}{2}nRT$の方が無難.)

★ 熱力学第一法則(内部エネルギー保存の式)

$\bcancel{\dfrac{3}{2}}\times \dfrac{P_{0}V_{0}}{\cancel{RT_{0}}}\times \cancel{RT_{0}}+\bcancel{\dfrac{3}{2}}\times \dfrac{3P_{0}V_{0}}{\cancel{RT_{0}}}\times \cancel{R}\times 2\cancel{T_{0}}=\bcancel{\dfrac{3}{2}}\times \dfrac{4PV_{0}}{\cancel{RT}}\times \cancel{RT}$  (答)

$\therefore\,\, P_{0}V_{0}+6P_{0}V_{0}=4PV_{0}$

$\therefore\,\, 7P_{0}\cancel{V_{0}}=4P\cancel{V_{0}}$ $\cdots (2\ast)$

(2)

$(2\ast)$より,$P=\dfrac{7}{4}P_{0}$(答).さらに,$(\ast)$より,$T=\dfrac{7}{4}T_{0}$(答)

コメント

  1. […] […]

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