[干渉問題]位相差演習3 波長が異なる.

波動
問題

波源$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$があり,波源$\rm S_{1}$では時刻$t$において,$y_{1}=A\sin\left(2\pi ft\right)$で振動していて,波源$\rm S_{2}$では,$y_{2}=A\sin\left(2\pi ft\right)$で振動している.ただし,$A$は振幅,$f$は振動数であり,どちらも正の定数である.${\rm S_{1}P}=l_{1}$,${\rm S_{2}P}=l_{2}$であるような点$\rm P$がある.このとき,次の問いに答えよ.ただし,$\rm S_{1}P$の経路の媒質と$\rm S_{2}P$の経路の媒質は異なり,それぞれの波長が$\lambda_{1}$,$\lambda_{2}$である.

(1) $\rm S_{1}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の変位と$\rm S_{2}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の変位の位相差$\varDelta \varphi$を$\lambda_{1}$,$\lambda_{2}$,$l_{1}$,$l_{2}$を用いて表せ.

(2) 2つの波が強め合うときの条件を整数$k$および,$l_{1}$,$l_{2}$,$\lambda_{1}$,$\lambda_{2}$を用いてかけ.

(3) 2つの波が弱め合うときの条件を整数$k$および,$l_{1}$,$l_{2}$,$\lambda_{1}$,$\lambda_{2}$を用いてかけ.

<解答>

(1) 

NEKO
NEKO

波が伝わる速さを$V_{1}$とすると,$\rm S_{1}$から$\rm P$に伝わる波において,$\rm P$で媒質の変位は,時間$\dfrac{l_{1}}{V_{1}}$前の$\rm S_{1}$での振動と等しいんだよね.

したがって,媒質の変位$y_{1\rm P}$は

$y_{1\rm P}=A\sin\left\{2\pi f\left(t-\dfrac{l_{1}}{V_{1}}\right) \right\}$

NEKO
NEKO

このとき,位相$\varphi_{1}$は,波の基本式,$V_{1}=f\lambda_{1}$も用いると次のようになります.

$\varphi_{1}=2\pi f\left(t-\dfrac{l_{1}}{V_{1}}\right)=2\pi ft-\dfrac{2\pi }{\lambda_{1}}l_{1}$

NEKO
NEKO

同じように,$\rm S_{2}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の位相$\varphi_{2}$は,波が伝わる速さを$V_{2}$として,

$\varphi_{2}=2\pi f\left(t-\dfrac{l_{2}}{V_{2}}\right)=2\pi ft-\dfrac{2\pi }{\lambda_{2}}l_{2}$

NEKO
NEKO

したがって,位相差$\varDelta \varphi$は

$\varDelta \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=2\pi\left(\dfrac{l_{2}}{\lambda_{2}}-\dfrac{l_{1}}{\lambda_{1}}\right)$ (答)

(2)

NEKO
NEKO

強め合うのは,$\varDelta \varphi$が$2\pi$の整数倍になるときなので

$\varDelta \varphi=2\pi k$

$\therefore 2\pi\left(\dfrac{l_{2}}{\lambda_{2}}-\dfrac{l_{1}}{\lambda_{1}}\right)=2\pi k$ (答)

NEKO
NEKO

ちょっと変わった形ですが,これが強め合いの条件です.

(3)

NEKO
NEKO

弱め合うのは,$\varDelta \varphi$が$\pi$の奇数倍のときなので

$\varDelta \varphi=(2k-1)\pi$

$\therefore 2\pi\left(\dfrac{l_{2}}{\lambda_{2}}-\dfrac{l_{1}}{\lambda_{1}}\right)=(2k-1)\pi$ (答)

PHYさん
PHYさん

このように,位相差を考えれば,少し変わった形にも対応できます.

コメント

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