高校物理ポイントまとめ集[力学編]

記事で使われているポイントまとめ集

運動方程式まとめ

質量$m$,加速度$a$,加速度の方向にはたらく力の和が$F$のとき,運動方程式は

$ma=F$

運動方程式を立てる手順
  1. 運動方程式を立てる”対象物体”,”座標の向き”,”観測者”を決める.
  2. 1.で決定した座標の向きを加速度の向きにする.
  3. 1.で決めた対象物体にはたらく力(相手から受ける力のみ.)をすべてかき,2.で決めた加速度の向きとそれに対して垂直な方向に力を分解する.
  4. 1.で決めた観測者が加速度運動している際は慣性力を忘れずに.
  5. 2.で決めた加速度の向きにそれぞれ運動方程式を立てる.
高校物理で出てくる運動方程式3つ+$\alpha$

以下,質量を$m$,加速度を$a$,座標を$x$,速度を$v$,定数を$C$,正の比例定数を$k$,中心力を$\vec{C}$とする.

① $ma=C$

 等加速度運動

② $ma=-kx+C$

 単振動

③ $ma=-kv+C$

 終端速度型の運動

※$+\alpha$ $m\vec{a}=\vec{C}$

 円運動(今回は扱いません)

等加速度運動の式

物体は加速度$a$で$x$軸上を運動している.$t=0$において,原点にある物体が,時刻$t$に座標$x$に移動した.初速度を$v_{0}$,時刻$t$における速度を$v$とするとき,次の関係式が成り立つ.

$v=v_{0}+at$ $\dots (\ast)$

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$ $\dots (2\ast)$

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\dots (3\ast)$

投げ上げ運動と対称性

時刻$t=0$において,速さ$v_{0}$で投げ上げたときの運動を考える.

投げ上げた地点を原点として上向きに$y$座標をとる.

最高点に達する時刻を$T$とする.

時刻$t$における速度$v(t)$と座標$y(t)$について,次の関係が成り立つ.

運動$0\leqq \tau \leqq T$について

$|v(T-\tau)|=|v(T+\tau)|$

$y(T-\tau)=y(T+\tau)$

等速円運動

等速円運動の問題で立てて欲しい2式

  • 向心方向の運動方程式
  • 周期の式
等速円運動の周期の式

等速円運動の半径を$r$,速さを$v$,角速度を$\omega$,回転数を$\nu$,周期を$T$とすると,以下の関係式が成り立つ.

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{1}{\nu}$

円運動の加速度

半径$r$,円運動の接線方向の速さを$v$,角速度を$\omega$とすると,向心加速度の大きさ$a$は

$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$

向心加速度の向きは円運動の中心

円筒面を離れず最高点に達する条件

円筒面が動かない場合,円筒面を離れず最高点に達する条件は

最高点での垂直抗力$>0$

である.この条件式をつくるのに,以下の2つの式を立てる.

  • 力学的エネルギー保存則
  • 向心方向の運動方程式
遠心力

物体の質量が$m$,物体が軸のまわりに半径$r$,速さ$v$,角速度$\omega$で回転しているとき,物体とともに回転した観測者からみたときに,遠心力がはたらく.

遠心力の大きさを$f$とすると

$f=mr\omega^{2}=m\dfrac{v^{2}}{r}$

向きは回転軸に向かう方向と逆向き

単振動の運動方程式

質量を$m$,加速度を$a$,座標を$x$,正の定数を$k$,定数を$x_{0}$とすると,単振動の運動方程式は

$ma=-k(x-x_{0})$

このとき,次の情報を読み取ることができる.

  • 振動の中心$x=x_{0}$
  • 角振動数$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
  • 振動の周期$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

また,単振動の振幅を$A$,初期位相を$\phi$とすると,座標$x$と時間の関係は次のようになる.

$x=x_{0}+A\sin(\omega t+\phi)$

終端速度型の運動方程式

質量を$m$,加速度を$a$,速度を$v$,$C$を定数とすると

$ma=-kv+C$

は終端速度型の運動方程式である.

終端速度型の運動方程式は次の特徴がある.

十分時間が経つと,速度が一定(加速度が0)になる.

速度が一定になったときの速度を終端速度という.

終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して

$0=-kv+C$ $\therefore v=\dfrac{C}{k}$

また,$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると,そのときの加速度($v-t$グラフの傾き)は

$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$

となる.

各運動でするべきこと

① $ma=C$ 等加速度運動

 等加速度運動の式

$v=v_{0}+at$

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$

 を立てて解く.

② $ma=-kx+C$ 単振動

 $ma=-k(x-x_{0})$と変形して,中心$x=x_{0}$と角振動数$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$と周期$T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$を求める.

 次に,初期条件から振幅や初期位相を求める.

③ $ma=-kv+C$ 終端速度型

 十分時間が経つと,速度が一定になると覚えておく.

 つまり,終端速度は$a=0$のときで$v=\dfrac{C}{k}$

 また,$t=0$の加速度をきかれることも多いので,運動方程式に代入して計算する.

 

相対速度と角度

観測者によって速度の大きさや向きは異なって見える.

したがって,物体の進む向きも観測者によって異なる.

物体の進む方向が問われたとき,誰から見た方向を聞かれているのかを確認すること.

エネルギーの原理の式

質量$m$の物体の速さが$v_{0}$から$v$に変化したとき,この間に外力がした仕事を$W$とすると

$\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=W$

の関係がある.

仕事の正負

動いている方向と同じ方向に力がはたらけば正の仕事

動いている方向と反対方向に力がはたらけば負の仕事

仕事

力×変位を仕事という.

しかし,等加速度運動の式から導いたことから,次のルールが加わる.

① 力は一定である.もし一定でないのであれば,一定とみなせるくらい細かく分解して足し合わせる(積分する.).

② 力の方向と移動する方向が一致する場合は正の仕事,反対方向の場合は負の仕事である.

③ 力の方向と移動する方向が一直線上にない場合は,仕事の大きさについて次のどちらかで計算をする.

  • 力×力の方向に移動した距離 で計算.
  • 力を移動する方向に分解して計算
重力による位置エネルギーのまとめ

質量が$m$,重力加速度が$g$であるとき,基準点より鉛直上向きに$h$の場所での位置エネルギー$U_{1}$は

$U_{1}=mgh$

基準点より鉛直下向きに$h$の場所での位置エネルギー$U_{2}$は

$U_{2}=-mgh$

となる.

2物体の力学的エネルギーが保存する条件

2つの物体が動くときの力学的エネルギーが保存する条件は,次の2つを同時にみたすときである.

  1. 物体系外からはたらく非保存力が仕事をしない
  2. 物体系の間に力がはたらく場合は,片一方の物体からもう片一方の物体を見たときにその力が仕事をしていないとき(今回の例では,台から物体を見ると,垂直抗力はつねに面に対して垂直な方向に力がはたらいているため,仕事をしていないが,摩擦力は面の接線方向に力がはたらいているため,仕事をしている)
速度交換

2つの物体の質量が同じで,反発係数$1$の正面衝突をする.

このとき,2つの物体の速度は衝突前後で交換される.

※ 運動量が保存しない状況では×

運動量保存則

質量$m_{1}$の物体1と質量$m_{2}$の物体2の速度を$v_{1}$,$v_{2}$とする.

物体1と物体2の力積の和が0のとき,次の式が成り立つ.

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=$一定

これを運動量保存則という.

運動量保存則は次のようなときに立てることが多い.

2つ以上の物体の運動

水平方向の成分の力の和が0のとき

鉛直方向であっても,空中衝突や空中分裂などの,非常に短い時間で外力がはたらく場合は,近似的に運動量保存則を立てる.

はねかえり係数の式

衝突前の物体の速度を$v_{1}$,$v_{2}$,衝突後の速度を$v_{1}^{\prime}$,$v_{2}^{\prime}$とするとき,はねかえり係数(反発係数)の式を次のように定義する.

$e=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$

$e=1$のときを弾性衝突といい,力学的エネルギーが保存する.

また,$e=0$のときを完全非弾性衝突という.

衝突によって失われる運動エネルギー

質量$m_{1}$の物体1と質量$m_{2}$の物体2の1次元衝突を考える.

ただし,物体1と物体2を物体系としたときの外力からの撃力ははたらかないものとする.(たとえば,壁との衝突,床との衝突など)

物体1,物体2の衝突前の速度を$v_{1}$,$v_{2}$とし,はねかえり係数を$e$とするとき,衝突の前後での物体1と物体2の運動エネルギーの変化$\varDelta K$は,次のように表される.

$\varDelta K=-\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(1-e^{2})(v_{1}-v_{2})^{2}$

重心

座標$x_{1}$,$x_{2}$にそれぞれ質量$m_{1}$,$m_{2}$の物体がある.

このときの重心の位置$x_{\rm G}$は

$x_{\rm G}=\dfrac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

重心からみた運動量の和は0

質量$m_{1}$,$m_{2}$の物体がある.

重心からみたそれぞれの速度を$v_{\rm G1}$,$v_{\rm G2}$とすると,次の式が成り立つ.

$m_{1}v_{\rm G1}+m_{2}v_{\rm G2}=0$

すなわち,重心からみた物体の運動量の和は0となる.

重心速度

速度$v_{1}$,$v_{2}$をもつ質量$m_{1}$,$m_{2}$の物体がある.

このときの重心速度$v_{\rm G}$は

$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

重心加速度

加速度$a_{1}$,$a_{2}$をもつ質量$m_{1}$,$m_{2}$の物体がある.

このときの重心加速度$a_{\rm G}$は

$a_{\rm G}=\dfrac{m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

重心の運動方程式

質量$m_{1}$,$m_{2}$の物体の重心の加速度を$a_{\rm G}$とする.2つの物体にはたらいている力をそれぞれ$F_{1}$,$F_{2}$とすると,次の式が成り立つ.

$(m_{1}+m_{2})a_{\rm G}=F_{1}+F_{2}$

重心不変

はじめ,重心が静止していて,その後,ある成分について力の和が0であるとき,その成分の重心は静止したままである.

静止している液体において,深さが同じ場所の圧力はどこも同じ.

上図において,A , B , Cはどこも同じ圧力である.

静止液体中の1点にはたらく力

静止液体中の1点にはたらく力は四方八方同じ大きさの力がはたらく.

理由:液体中の質量が無視できるくらい小さい液体球について考える.この液体球のまわりにも液体があり,四方八方からおされている.液体球はつりあっているため,力の和が0となる.したがって,四方八方同じ大きさの力がはたらく.

面積速度一定の法則

$\rm O$を中心として物体が運動しているときを考える.

物体の軌道面と平行な力が中心$\rm O$(または中心軸)を向くとき,面積速度$\dfrac{\Delta S}{\Delta t}$が一定となる.

面積速度は中心$\rm O$と物体を結ぶ線分が単位時間あたりに通過する面積である.

上図のように,$\rm O$と物体の距離が$r$,物体の速さを$v$,$\rm O$と物体を結ぶ線分と速度とのなす角を$\theta$とすると,面積速度は

$\dfrac{\Delta S}{\Delta t}=\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$

力のモーメント

中心$\rm O$から距離$r$の点$\rm A$を始点とした大きさ$F$の力がはたらいている.この力の$\rm OA$方向の成分を$F_{1}$,$\rm OA$に垂直な成分を$F_{2}$とすると,力$F$の点$\rm O$まわりの力のモーメントの大きさ$N$は

$N=rF_{2}$

作用線平行移動の原理

中心を$\rm O$とし,ある始点にはたらく力のモーメントを計算するとき,力の作用線上のどこに移動させても力のモーメントは同じである.

万有引力

質量$M$の物体と質量$m$の物体の重心間の距離を$r$とする.万有引力定数を$G$とするとき,万有引力の大きさ$F$は

$F=G\dfrac{Mm}{r^{2}}$

万有引力による位置エネルギー

質量$M$と質量$m$の物体の距離を$r$とする.万有引力の位置エネルギーの基準点を無限遠とし,万有引力定数を$G$とすると,万有引力のよる位置エネルギー$U$は

$U=-G\dfrac{Mm}{r}$

$G$とgの関係

半径$R$で質量$M$の惑星の表面上の重力加速度の大きさを$g$とする.

惑星の自転の影響を無視するとき,重力加速度の大きさ$g$と万有引力定数$G$には次の関係がある.

$gR^{2}=GM$

理由:上図より,$G\dfrac{Mm}{R^{2}}=mg$から,$gR^{2}=GM$

楕円運動の問題のときに立てる式
  • 面積速度一定の法則
  • 力学的エネルギー保存則
アルキメデスの原理

物体にはたらく浮力の大きさは,物体がおしのけた液体(または気体)の重さと等しい.

おしのけた液体(または気体)の密度を$\rho$,押しのけた分の物体の体積を$V$,重力加速度の大きさを$g$とすると,浮力の大きさ$F$は

$F=\rho Vg$

※ $\rho$は物体の密度ではなく,おしのけた液体(または気体)の密度である

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