まず，点電荷がつくる電場と電位について確認しましょう．
電荷$Q$の点電荷が距離$r$につくる電場の大きさ$E$は，クーロンの比例定数を$k$として
$E=k\dfrac{|Q|}{r^{2}}$
また，正電荷の場合，点電荷から飛び出すように電場をつくり，負電荷の場合，点電荷に入りこむように電場をつくる．
電場の合成はベクトル計算です．
電荷$Q$の距離$r$における電位$V$は，クーロンの比例定数を$k$として
$V=k\dfrac{Q}{r}$
※ $|Q|$としないこと．
電位はスカラー計算をします．
電場と電位は似ているようで全く違います．
特に，計算方法の違いに注意して下の問題を解きましょう．
図のような$x$軸上の$x=a$の位置に電荷$Q$の点電荷が固定してあり，$x=-a$の位置には電荷$-2Q$が固定してある．クーロンの比例定数を$k$として次の問いに答えよ．ただし，$Q$，$a$はともに正の数である．
(1) $x$軸上で電場が0の位置を答えよ．
(2) $x$軸上で電位が0の位置を答えよ.
<解答>
(1)
まず，電場が0の場所はどこらへんにあるか目星をつけておきましょう．
普通，電場の計算は大きさと向きを別々に考えるからです．
場所によって電場の向きが変わっちゃうんだね．
上図をみてみましょう．
領域Iについて，$Q$がつくる電場は$x$軸の負の向き，$-2Q$がつくる電場は$x$軸の正の向きなので，うまく打ち消しそうな気がしますが，電場の大きさは電荷の絶対値が大きければ大きいほど大きくなり，距離が近いほど大きくなります．$-2Q$がつくる電場の大きさは電荷が$Q$より大きく，近いためどう考えても打ち消すことができません．
領域IIについて，$Q$，$-2Q$ともに$x$軸負の方向に電場をつくるので，0になりません．
一方，領域IIIは，$Q$の電荷は$x$軸正の向きに電場を作り，$-2Q$は負の方向に電場を作ります．また，$-2Q$の電荷は電荷の絶対値が大きい代わりに距離が遠いので，うまいこと打ち消すことができそうです．
★ 領域IIIにおいて，位置$x(a<x)$における合成電場の計算
電荷$Q$が位置$x$につくる電場の大きさは$k\dfrac{Q}{(x-a)^{2}}$，電荷$-2Q$が位置$x$につくる電場の大きさは，$k\dfrac{|-2Q|}{(x+a)^{2}}$なので，電場が0になる条件は
$\eqalign{\cancel{k}\dfrac{\cancel{Q}}{(x-a)^{2}}&=\cancel{k}\dfrac{2\cancel{Q}}{(x+a)^{2}}\cr 2(x-a)^{2}&=(x+a)^{2}\cr \sqrt{2}(x-a)&=\pm(x+a)}$
これを解いて，$x=(3+2\sqrt{2})a$ または $(3-2\sqrt{2})a$
2つ答えがでたけど，$x>a$を満たすのは，$x=(3+2\sqrt{2})a$(答)だね．
(2)
電位の計算では矢印をかかないことに注意しよう！
電荷$Q$は正の電位をつくり，$-2Q$は負の電位をつくるんだね．電位の絶対値も電荷$Q$の絶対値に比例するので，領域Iに電位が0になることはなさそう．
(領域Iでは電位が負になります.)
したがって，領域IIと領域IIIを考えればいいね．
その際，注意するのは，電荷に絶対値をつけて計算しないことと，$V=k\dfrac{Q}{r}$の$r$は距離であるということだよ．
★ 領域IIについて
$Q$が$x$の位置につくる電位は$k\dfrac{Q}{a-x}$(※$k\dfrac{Q}{x-a}$では×．$k\dfrac{Q}{|x-a|}$\ならOK)，$-2Q$が位置$x$につくる電位は$k\dfrac{-2Q}{x+a}$なので
$k\dfrac{Q}{a-x}+k\dfrac{-2Q}{x+a}=0$
$\therefore x=\dfrac{a}{3}$
★ 領域IIIについて
$Q$が$x$の位置につくる電位は$k\dfrac{Q}{x-a}，$-2Q$が位置$x$につくる電位は$k\dfrac{-2Q}{x+a}$なので
$k\dfrac{Q}{x-a}+k\dfrac{-2Q}{x+a}=0$
$\therefore x=3a$
したがって，電位が0になる位置は$x=\dfrac{a}{3}$，$3a$(答)です．
じつは，$-2Q$と$Q$からの距離の比が$2：1$である位置が電位が0になるので，電位が0になる点の軌跡は円となります．（アポロニウスの円）
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