[演習] 電場と電位1 直線上の電場または電位が0になる点

分野別
NEKO
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まず,点電荷がつくる電場と電位について確認しましょう.

点電荷がつくる電場

電荷$Q$の点電荷が距離$r$につくる電場の大きさ$E$は,クーロンの比例定数を$k$として

$E=k\dfrac{|Q|}{r^{2}}$

また,正電荷の場合,点電荷から飛び出すように電場をつくり,負電荷の場合,点電荷に入りこむように電場をつくる.

NEKO
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電場の合成はベクトル計算です.

点電荷の距離$r$の位置における電位

電荷$Q$の距離$r$における電位$V$は,クーロンの比例定数を$k$として

$V=k\dfrac{Q}{r}$

※ $|Q|$としないこと.

NEKO
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電位はスカラー計算をします.

電場と電位は似ているようで全く違います.

特に,計算方法の違いに注意して下の問題を解きましょう.

問題

図のような$x$軸上の$x=a$の位置に電荷$Q$の点電荷が固定してあり,$x=-a$の位置には電荷$-2Q$が固定してある.クーロンの比例定数を$k$として次の問いに答えよ.ただし,$Q$,$a$はともに正の数である.

(1) $x$軸上で電場が0の位置を答えよ.

(2) $x$軸上で電位が0の位置を答えよ.

<解答>

(1)

NEKO
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まず,電場が0の場所はどこらへんにあるか目星をつけておきましょう.

普通,電場の計算は大きさと向きを別々に考えるからです.

場所によって電場の向きが変わっちゃうんだね.

NEKO
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上図をみてみましょう.

領域Iについて,$Q$がつくる電場は$x$軸の負の向き,$-2Q$がつくる電場は$x$軸の正の向きなので,うまく打ち消しそうな気がしますが,電場の大きさは電荷の絶対値が大きければ大きいほど大きくなり,距離が近いほど大きくなります.$-2Q$がつくる電場の大きさは電荷が$Q$より大きく,近いためどう考えても打ち消すことができません.

領域IIについて$Q$,$-2Q$ともに$x$軸負の方向に電場をつくるので,0になりません.

一方,領域IIIは,$Q$の電荷は$x$軸正の向きに電場を作り,$-2Q$は負の方向に電場を作ります.また,$-2Q$の電荷は電荷の絶対値が大きい代わりに距離が遠いので,うまいこと打ち消すことができそうです.

★ 領域IIIにおいて,位置$x(a<x)$における合成電場の計算

電荷$Q$が位置$x$につくる電場の大きさは$k\dfrac{Q}{(x-a)^{2}}$,電荷$-2Q$が位置$x$につくる電場の大きさは,$k\dfrac{|-2Q|}{(x+2a)^{2}}$なので,電場が0になる条件は

$\eqalign{\cancel{k}\dfrac{\cancel{Q}}{(x-a)^{2}}&=\cancel{k}\dfrac{2\cancel{Q}}{(x+2a)^{2}}\cr 2(x-a)^{2}&=(x+2a)^{2}\cr \sqrt{2}(x-a)&=\pm(x+2a)}$

これを解いて,$x=(4+3\sqrt{2})a$または$-(3\sqrt{2}-4)a$

NEKO
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2つ答えがでたけど,$x>a$を満たすのは,$x=(4+3\sqrt{2})a$(答)だね.

(2)

NEKO
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電位の計算では矢印をかかないことに注意しよう!

NEKO
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電荷$Q$は正の電位をつくり,$-2Q$は負の電位をつくるんだね.電位の絶対値も電荷$Q$の絶対値に比例するので,領域Iに電位が0になることはなさそう.

(領域Iでは電位が負になります.)

したがって,領域IIと領域IIIを考えればいいね.

その際,注意するのは,電荷に絶対値をつけて計算しないことと,$V=k\dfrac{Q}{r}$の$r$は距離であるということだよ.

★ 領域IIについて

$Q$が$x$の位置につくる電位は$k\dfrac{Q}{a-x}$(※$k\dfrac{Q}{x-a}$では×.$k\dfrac{Q}{|x-a|}$\ならOK),$-2Q$が位置$x$につくる電位は$k\dfrac{-2Q}{x+a}$なので

$k\dfrac{Q}{a-x}+k\dfrac{-2Q}{x+a}=0$

$\therefore x=\dfrac{a}{3}$

★ 領域IIIについて

$Q$が$x$の位置につくる電位は$k\dfrac{Q}{x-a},$-2Q$が位置$x$につくる電位は$k\dfrac{-2Q}{x+a}$なので

$k\dfrac{Q}{x-a}+k\dfrac{-2Q}{x+a}=0$

$\therefore x=3a$

NEKO
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したがって,電位が0になる位置は$x=\dfrac{a}{3}$,$3a$(答)です.

じつは,$-2Q$と$Q$からの距離の比が$2:1$である位置が電位が0になるので,電位が0になる点の軌跡は円となります.(アポロニウスの円

コメント

  1. […] […]