[基本]単振動の演習問題⑦　運動方程式を立てる3

<解答>

(1)　位置$x$における物体の加速度を$x$軸の正の向きに$a$と設定しましょう．上図のように，$x>0$のときを考えます．（前に調べたように，$x<0$でも同じ式になります．）左側のばねは伸びている状態なので，物体を自然長に戻すように引っ張り，その大きさは$kx$です．また，右側のばねは縮んている状態なので，ばねを物体を自然長に戻すように押し，その大きさは$2kx$です．どちらも左向きに力がかかっていますね．したがって，運動方程式は

$ma=-kx-2kx=-3kx$

この運動方程式から中心座標は$x_{0}=0$，角振動数は$\omega=\sqrt{\dfrac{3k}{m}}$，周期は$T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{3k}}$となります．

(2)　中心座標が$x_{0}=0$で$x=l$からスタートし，$x$軸の負の方向にいくので$\cos$型です．振幅は中心と右端である$x=l$との距離$A=l$ですね．

$x=A\cos \omega t=l\cos \sqrt{\dfrac{3k}{m}}t$

いままでの単振動の問題ができていれば，この問題もさほど難しくないと思います．合成ばね定数という考え方ではなく，いつも通りに力を図示すれば解くことができます．

解答の前に，ばねを直列につなげたときにどのように考えていけばよいか考えていきましょう．

ばね定数$k_{1}$と$k_{2}$のばねを直列につなげる．このとき，合成ばね定数を$K$とすると，次の式が成り立つ．

$\dfrac{1}{K}=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}$ $\dots (\clubsuit)$

理由は次の通りです．

上図のようなばね定数$k_{1}$と$k_{2}$の軽いばねを考えましょう．軽いので$m\fallingdotseq 0$です．たとえば，それぞれのばねが$\Delta x_{1}$，$\Delta x_{2}$伸びているとき，物体は緑のばね（ばね定数$k_{2}$の方のばね）より鉛直上方向に力$F$の弾性力を受けます．これが運動方程式を立てる際に必要となる力ですね．$F=k_{2}\Delta x_{2} $です．また，緑のばねにはたらく力の合力は$0$と近似できます．理由は”軽いばね”だからです．質量$m$，加速度$a$，力$F$がはたらくとき

$ma=F$，$m=0$ のとき $F=0$

から，いくら加速度をもっていても質量が$0$であれば，力の和は$0$となります．したがって，緑のばねにはたらく力の合力が0になるためには，青いばね（ばね定数$k_{1}$の方のばね）が緑のばねを引く力$k_{1}\Delta x_{1}$と$k_{2}\Delta x_{2}$の大きさが等しくなります．

$k_{1}\Delta x_{1}=k_{2}\Delta x_{2}$

すなわち

$F=k_{1}\Delta x_{1}=k_{1}\Delta x_{2}$

これを変形して

$\Delta x_{1}=\dfrac{F}{k_{1}}$，$\Delta x_{2}=\dfrac{F}{k_{2}}$

$\therefore$ $\Delta x_{1}+\Delta x_{2}=\dfrac{F}{k_{1}}+\dfrac{F}{k_{2}}=\dfrac{k_{1}+k_{1}}{k_{1}k_{2}}F$

この式から$F$は

$F=\dfrac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{1}}(\Delta x_{1}+\Delta x_{2})$

ここで，$K=\dfrac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{1}}$とおくと，

$\dfrac{1}{K}=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}$

となります．つまり，この合成ばね定数を使えば，物体にはたらく力の大きさ$F$は

（合成ばね定数)$\times$(2つのばねの伸びまた縮みの和)

と計算できます．便利ですね．さて，$(\clubsuit)$を確認したところ問題を解きましょう．

以下の記事も目を通しておくとよいでしょう．

[よくある質問]なぜばね定数は長さに反比例するのか？

NEKO 一様で軽いばねのばね定数$k$は，ばねの長さ$l$に反比例するんだよね． つまり， $k\varpropto \dfrac{1}{l}$ いろんなところで使うからなんとなく覚えていたけど，なんで反比例するの？ PHYさん ばね定数...

physicmath.net

2020.09.07

<解答>

(1)　$(\clubsuit)$より合成ばね定数$K$は次のように計算できます．

$\dfrac{1}{K}=\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{3k}=\dfrac{5}{6k}$

$\therefore$ $K=\dfrac{6}{5}k$

物体が位置$x$にいるときの加速度を$x$軸の正の向きに$a$とすると，運動方程式は

$ma=-\dfrac{6}{5}kx$

したがって，振動の中心は$x_{0}=0$，角振動数は$\omega=\sqrt{\dfrac{\dfrac{6}{5}k}{m}}=\sqrt{\dfrac{6k}{5m}}$，周期は$T=2\pi\sqrt{\dfrac{5m}{6k}}$となります．

(2)　振動の中心が$x_{0}=0$で$x=l$でスタートし，$x$軸の負の方向にいくので，$\cos$型です．中心と右端の距離が$l$なので，振幅は$A=l$です．したがって，時刻$t$の物体の位置$x$は

$x=A\cos \omega t=l\cos \sqrt {\dfrac{6k}{5m}}t$