ベータトロン 内部磁場を変化させると半径はどう変わるか

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NEKO
NEKO

前回,ベータトロンを扱ったね.

もし,円周上の磁場を「ベータトロン条件」を満たさないで変化させた場合はどんなことが起こるんだろう?

なんとなく,電子が加速するから半径が大きくなるのかな?

PHYさん
PHYさん

いえ,実は内部および軌道上の磁束密度を$\varPhi$から非常に短い時間$\varDelta t$の間に$\varDelta \varPhi$変化させると,半径が小さくなるように変化していきます.

NEKO
NEKO

へえ,そうなるんだ.

PHYさん
PHYさん

では,実は内部および軌道上の磁束密度を$\varPhi$から非常に短い時間$\varDelta t$の間に$\varDelta \varPhi$変化させたときに,電子の軌道の接線方向が$v$から$v+\varDelta v$に変化したとしましょう.

ファラデーの電磁誘導の法則

$\varDelta t$の間に磁束が$\varDelta \varPhi$変化するときに生じる誘導起電力の大きさ$V$は

$V=\left|\dfrac{\varDelta \varPhi}{\varDelta t}\right|$

$\varPhi$と$B$の関係

上図のように,面積$S[\rm m^{2}]$の部分を磁束密度の大きさ$B[\rm Wb/m^{2}]$の磁場が面に垂直な線に対して$\theta$の方向にかかっているとき,この面を貫く磁束$\varPhi$は

$\eqalign{\varPhi&=(B\cos\theta)S\\&=BS\cos\theta}$

となる.

★ ファラデーの法則

誘導起電力の大きさを$V$とすると

$\eqalign{V&=\dfrac{\varDelta \overline{B}\cdot \pi R^{2}}{\varDelta t}\\&=\pi R^{2}\dfrac{\varDelta \overline{B}}{\varDelta t}}$

PHYさん
PHYさん

次の,電場と電位差の関係より,円軌道上に生じる電場(誘導電場)の大きさを計算しましょう.

円軌道の周の長さは$2\pi R$ですね.

電場の電位差の関係

電場の大きさを$E$,距離$\Delta x$の電位差を$\Delta V$とするとき,次の関係が成り立つ.

$E=\left|\dfrac{\Delta V}{\Delta x}\right|$

★ 電場と電位差の関係

周上の生じる電場の大きさを$E$として

$\eqalign{E&=\dfrac{\cancel{\pi} R^{\cancel{2}}\dfrac{\varDelta \overline{B}}{\varDelta t}}{2\cancel{\pi} \cancel{R}}\\&=\dfrac{R}{2}\dfrac{\varDelta \overline{B}}{\varDelta t}}$

PHYさん
PHYさん

この電場によって電子が軌道の方向に加速されます.

このときのクーロン力の大きさ$F$は,次のようになります.

★ $F$と$E$no

kankei

$F=eE=\dfrac{eR}{2}\dfrac{\varDelta \overline{B}}{\varDelta t}$

$\therefore F\varDelta t=\dfrac{eR\varDelta \overline{B}}{2}$

NEKO
NEKO

電子は力積(力×時間)を受けているので,電子の運動量の大きさが変化するね.

電子の質量を$m$,速さの変化を$\varDelta v$とすると

$\eqalign{m\varDelta v&=F\varDelta t\\&=\dfrac{eR\varDelta \overline{B}}{2}}$

$\therefore \varDelta v=\dfrac{eR\varDelta \overline{B}}{2m}$  $\dots (\ast)$

PHYさん
PHYさん

加速する前は,

$m\dfrac{v^{2}}{R}=vBe$ $\dots (2\ast)$

が成り立っています.

電子の接線方向の速度が$v+\varDelta v$になったとき,電子とともに回転している観測者からみると,電子には,中心方向にローレンツ力$(v+\varDelta v)(B+\varDelta\overline{B})e$中心方向と反対方向に遠心力$m\dfrac{(v+\varDelta v)^{2}}{R}$がはたらきます.

中心方向にはたらく力を$F$として,この力の和を計算しましょう.

次式の計算の際に$(\ast)$と$(2\ast)$を代入しています.

$\eqalign{F&=(v+\varDelta v)(B+\varDelta \overline{B})e-m\dfrac{(v+\varDelta v)^{2}}{R}\\&=\cancel{vBe}+v\left(\varDelta \overline{B}\right)e+(\varDelta v)Be+(\varDelta v)\left(\varDelta \overline{B}\right)e-\cancel{m\dfrac{v^{2}}{R}}-\dfrac{2mv(\varDelta v)}{R}-m\dfrac{(\varDelta v)^{2}}{R}\\&=v\left(\varDelta \overline{B}\right)e+\dfrac{eR\left(\varDelta \overline{B}\right)}{2m}Be+\dfrac{eR\left(\varDelta \overline{B}\right)}{2m}\cdot \left(\varDelta \overline{B}\right)e-\dfrac{\cancel{2m}v}{\cancel{R}}\cdot \dfrac{e\cancel{R}\left(\varDelta \overline{B}\right)}{\cancel{2m}}-m\dfrac{1}{R}\cdot \left\{\dfrac{eR\left(\varDelta \overline{B}\right)}{2m}\right\}^{2}\\&=v\cancel{\left(\varDelta \overline{B}\right)e}+\dfrac{e^{2}RB\left(\varDelta \overline{B}\right)}{2m}+\dfrac{e^{2}R\left(\varDelta \overline{B}\right)^{2}}{2m}-\cancel{ve(\varDelta \overline{B})}-\cancel{m}\dfrac{1}{\cancel{R}}\cdot \dfrac{e^{2}R^{\cancel{2}}\left(\varDelta \overline{B}\right)^{2}}{4m^{\cancel{2}}}\\&=\dfrac{e^{2}RB\left(\varDelta \overline{B}\right)}{2m}+\dfrac{e^{2}R\left(\varDelta \overline{B}\right)^{2}}{4m}\\&=\dfrac{e^{2}R\left(\varDelta \overline{B}\right)}{4m}\cdot (2B+\varDelta \overline{B})>0}$

NEKO
NEKO

$F>0$ということは,ローレンツ力の方が大きくなって,電子は半径が小さくなる方向に引き込まれるんだね.

このようなことが起こらないために周上の磁束密度変化を調整するんだね.

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