ガウスの法則が成り立つ理由を説明

では，今回はガウスの法則について説明しましょう．

電荷$Q$(ここでは$Q>0$としましょう．)を囲む閉曲面$\rm C^{\prime}$を考えます．

電荷$Q$から距離$r$の位置の電場の大きさは，クーロンの比例定数$k_{0}$を用いて

$k_{0}\dfrac{Q}{r^{2}}$

となります．

ここで，距離が$r$離れた場所に電場が貫いた付近の微小面積$\varDelta S^{\prime}$を考えましょう．

このとき，電場は貫いた面の法線からのなす角が$\theta$であるとしましょう．

すると，

微小面積$\varDelta S^{\prime}\times$ 面を垂直に貫く電場の大きさ

は，

$\varDelta S^{\prime}\times k_{0}\dfrac{Q}{r^{2}}\cos\theta$　$\dots (\ast)$

となります．

いえ，結論をいうと，閉曲面の形には依りません．

直接は計算できないので，次のように工夫してみたいと思います．

微小な閉曲面の一部（上図青色部分）に電場の方向と真逆の方向から光を当てたときの影の面積について考えてみましょう．

その影の面積は上図より

$\varDelta S^{\prime}\cos\theta$

となります．

すると，

電場の大きさ$\times$ 微小な閉曲面の影の面積

は，

$\varDelta S^{\prime}\cos\theta \times k_{0}\dfrac{Q}{r^{2}}$　$\dots (2\ast)$

となり，これは$(\ast)$と同じ式になります．

次に，電荷$Q$を中心とした，半径1の球面（閉曲面C）を考えてみましょう．

電荷$Q$がある場所を頂点として，さきほど求めた面積$\varDelta S^{\prime}\cos\theta$部分の面積を底面（上図赤色）とした錐を考えてみます．赤い部分は円でなくてもいいんですが，わかりやすいように，円錐をイメージしてもらうとよいかと思います．

この円錐と閉曲面が交わる部分が上図の緑色の部分です．

このとき，緑色部分の面積$\varDelta S$と赤色部分の面積$\varDelta S^{\prime}\cos\theta$は，相似比と面積比を考えて次のようになります．

$(3\ast)$を$\varDelta S^{\prime}\cos\theta \times k_{0}\dfrac{Q}{r^{2}}$　$(2\ast)$に代入すると次のようになります．

はい，このように，閉曲面はどのようにとっても結局$4\pi k_{0}Q$となります．

これは，電荷が2個あっても3個あっても同様に考えることができるので，閉曲面を$\rm C^{\prime}$をうまく選べば，多数電荷が集まった場合の電場の大きさの計算ができるというわけです．

電場が閉曲面から出る方向を$+$，入り込む方向を$-$とすると，次の図から，閉曲面の外にある電荷は

閉曲面に垂直な電場（符号付き）$\times $閉曲面を貫く面積は0

になることがわかります．

最後に，ガウスをまとめるとガウスの法則は次のようになります．