過去15年で出た「ソレノイドコイル」の相互インダクタンスを求める問題3

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PHYさん
PHYさん

引き続き問題を解いていきましょう.

まずは,相互インダクタンスを求める手順の確認です.

ソレノイドコイルの相互インダクタンスの求め方

ソレノイドコイル1が電流を流し,ソレノイドコイル2に生じる誘導起電力を考える.

コイル2の巻き数を$N_{2}$とする.コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V_{2}$は,時間$\varDelta t$の間にコイル2内部の磁束が$\varDelta \varPhi_{2}$変化したとき

$V_{2}=N_{2}|\frac{\varDelta \varPhi_{2}}{\varDelta t}|$  $\dots (\sharp)$

である.$\varPhi_{2}$はコイル1によって作られた磁束密度を$B_{1}$,コイル2の断面積を$S_{2}$とする.(ちなみに,コイル1とコイル2の軸は平行であるとする.)このとき,

$\varPhi_{2}=B_{1}S_{2}$ $\dots (2\sharp)$

透磁率を$\mu$,コイル1がつくる磁場を$H_{1}$とすると

$B_{1}=\mu H_{1}$ $\dots (3\sharp)$

であり,コイル1の長さを$l_{1}$,巻き数を$N_{1}$(単位長さ当たりの巻き数を$n_{1}=\dfrac{N_{1}}{l_{1}}$)とすると,ソレノイドコイル1に電流$i_{1}$を流したときにコイル内部に生じる磁場$H_{1}$は

$H_{1}=\dfrac{N_{1}}{l_{1}}i_{1}=n_{1}i_{1}$ $\dots (4\sharp)$

$(2\sharp)$から$(4\sharp)$を$(\sharp)$に代入する

$(4\sharp)$を$(3\sharp)$に代入して(以後,$n_{1}$を採用して計算する.)

$B_{1}=\mu\cdot n_{1}i_{1}$

これを$(2\sharp)$に代入して

$\varPhi_{2}=\mu n_{1}S_{2}i_{1}$

さらにこれを$(\sharp)$に代入して

$\eqalign{V_{2}&=N_{2}\left|\dfrac{\varDelta ( \mu n_{1}S_{2}i_{1} )}{\varDelta t}\right|\\&=\mu n_{1}N_{2}S_{2}\left|\dfrac{\varDelta i_{1}}{\varDelta t}\right|}$

上式の$\left|\dfrac{\varDelta i_{1}}{\varDelta t}\right|$の正の比例定数が相互インダクタンスである.(ここでは,$ \mu n_{1}N_{2}S_{2} $)

問題

(1) ソレノイドコイルAは断面積$S_{\rm A}$で,長さが$l_{\rm A}$,総巻き数が$N_{\rm A}$であり,ソレノイドコイルBは 断面積$S_{\rm B}$で,長さが$l_{\rm B}$,総巻き数が$N_{\rm B}$である.$S_{\rm A}<S_{\rm B}$かつ$l_{\rm A}>l_{\rm B}$であり,$l_{\rm A}$は十分大きく,ソレノイドコイルAに電流を流すとコイルA内部には一様な磁場ができる.透磁率を$\mu$として,コイルAとコイルBの相互インダクタンスを$M$を求めよ.

(2) ソレノイドコイルAは断面積$S_{\rm A}$で,長さが$l_{\rm A}$,総巻き数が$N_{\rm A}$であり,ソレノイドコイルBは 断面積$S_{\rm B}$で,長さが$l_{\rm B}$,単位長さあたりの巻き数が$n_{\rm B}$である.$S_{\rm A}<S_{\rm B}$かつ$l_{\rm A}>l_{\rm B}$であり,$l_{\rm A}$は十分大きく,ソレノイドコイルAに電流を流すとコイルA内部には一様な磁場ができる.透磁率を$\mu$として,コイルAとコイルBの相互インダクタンスを$M$を求めよ.

(3)  ソレノイドコイルAは断面積$S_{\rm A}$で,長さが$l_{\rm A}$,単位長さ当たりの巻き数が$n_{\rm A}$であり,ソレノイドコイルBは 断面積$S_{\rm B}$で,長さが$l_{\rm B}$,単位長さあたりの巻き数が$n_{\rm B}$である.$S_{\rm A}<S_{\rm B}$かつ$l_{\rm A}>l_{\rm B}$であり,$l_{\rm A}$は十分大きく,ソレノイドコイルAに電流を流すとコイルA内部には一様な磁場ができる.透磁率を$\mu$として,コイルAとコイルBの相互インダクタンスを$M$を求めよ.

PHYさん
PHYさん

今回も「総巻き数」なのか「単位長さあたりの巻き数」なのかに注意しましょう.

総巻き数を$N$,長さを$l$,単位長さあたりの巻き数を$n$とすると

$n=\dfrac{N}{l}$

の関係があります.

ファラデーの法則の

$V=N|\dfrac{\varDelta \varPhi}{\varDelta t}|$

の$N$は総巻き数で,ソレノイドコイルに電流$i$を流したときに内部に生じる磁場$H$の

$H=ni$

の$n$は単位長さあたりの巻き数です.

この2つの違いに注意して問題を解きましょう.

また,相互インダクタンスを求める際はいずれもコイルAに電流を流したときのことを考えましょう.

<解答>

(1)

コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は

$H_{\rm A}=\dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}$

したがって,磁束密度$B_{\rm A}$は

$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}}$

さらに,コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は

$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S_{\rm A}\\ &= \mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A} }$

したがって,$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき,コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は

$\eqalign{V&=N_{\rm B}\dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&=N_{\rm B}\cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}\right) \\&=\mu \dfrac{N_{\rm A}N_{\rm B}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$

したがって,相互インダクタンスは

$M= \mu \dfrac{N_{\rm A}N_{\rm B}S_{\rm A}}{l_{\rm A}} $ (答)

(2)

コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は

$H_{\rm A}=\dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}$

したがって,磁束密度$B_{\rm A}$は

$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}}$

さらに,コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は

$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S_{\rm A}\\ &= \mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A} }$

コイルの総巻き数は$n_{\rm B}l_{\rm B}$である.したがって,$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき,コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は

$\eqalign{V&= n_{\rm B}l_{\rm B} \dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&= n_{\rm B}l_{\rm B} \cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}\right) \\&=\mu \dfrac{N_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B} S_{\rm A}}{l_{\rm A}}\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$

したがって,相互インダクタンスは

$M= \mu \dfrac{N_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B} S_{\rm A}}{l_{\rm A}} $ (答)

(3)

コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は

$H_{\rm A}=n_{\rm A}i_{\rm A}$

したがって,磁束密度$B_{\rm A}$は

$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot n_{\rm A}i_{\rm A}}$

さらに,コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は

$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S_{\rm A}\\ &= \mu \cdot n_{\rm A}S_{\rm A}i_{\rm A} }$

コイルの総巻き数は$n_{\rm B}l_{\rm B}$である.したがって,$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき,コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は

$\eqalign{V&= n_{\rm B}l_{\rm B} \dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&= n_{\rm B}l_{\rm B} \cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot n_{\rm A}S_{\rm A}i_{\rm A}\right) \\&=\mu n_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B}S_{\rm A}\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$

したがって,相互インダクタンスは

$M= \mu n_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B}S_{\rm A} $ (答)

コメント

  1. 中村 より:

    問題(1)に関し、電流をコイルBに流した場合の相互インダクタンスMの式はどうなりますか?
    また、相互誘導起電力は、電流をコイルA,Bどちらに流す方が大きくなりますか?

    • physicmath より:

      相互インダクタンスは同じとなります.ただ,この問題の場合コイルBに電流を流すと,コイルBの端の方は中央の半分の磁場となったりと計算が面倒なので,入試では相当工夫をしない限りでないと思います.
      相互インダクタンスが同じなので,電流の変化が同じであれば相互誘導起電力の大きさも同じとなります.

  2. 中村 より:

    回答ありがとうございます!
    コイルBに電流を流す場合の相互インダクタンスの式は、M=μNaNbSb/Lbとはならないのでしょうか?(SaとLaがSbとLbになる)

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