前回の内容はこちらです.
引き続き問題を解いていきましょう.
まずは,相互インダクタンスを求める手順の確認です.
今回も「総巻き数」なのか「単位長さあたりの巻き数」なのかに注意しましょう.
総巻き数を$N$,長さを$l$,単位長さあたりの巻き数を$n$とすると
$n=\dfrac{N}{l}$
の関係があります.
ファラデーの法則の
$V=N|\dfrac{\varDelta \varPhi}{\varDelta t}|$
の$N$は総巻き数で,ソレノイドコイルに電流$i$を流したときに内部に生じる磁場$H$の
$H=ni$
の$n$は単位長さあたりの巻き数です.
この2つの違いに注意して問題を解きましょう.
また,相互インダクタンスを求める際はいずれもコイルAに電流を流したときのことを考えましょう.
<解答>
(1)
コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は
$H_{\rm A}=\dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}$
したがって,磁束密度$B_{\rm A}$は
$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}}$
さらに,コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は
$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S_{\rm A}\\ &= \mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A} }$
したがって,$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき,コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は
$\eqalign{V&=N_{\rm B}\dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&=N_{\rm B}\cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}\right) \\&=\mu \dfrac{N_{\rm A}N_{\rm B}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$
したがって,相互インダクタンスは
$M= \mu \dfrac{N_{\rm A}N_{\rm B}S_{\rm A}}{l_{\rm A}} $ (答)
(2)
コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は
$H_{\rm A}=\dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}$
したがって,磁束密度$B_{\rm A}$は
$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}}$
さらに,コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は
$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S_{\rm A}\\ &= \mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A} }$
コイルの総巻き数は$n_{\rm B}l_{\rm B}$である.したがって,$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき,コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は
$\eqalign{V&= n_{\rm B}l_{\rm B} \dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&= n_{\rm B}l_{\rm B} \cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}\right) \\&=\mu \dfrac{N_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B} S_{\rm A}}{l_{\rm A}}\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$
したがって,相互インダクタンスは
$M= \mu \dfrac{N_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B} S_{\rm A}}{l_{\rm A}} $ (答)
(3)
コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は
$H_{\rm A}=n_{\rm A}i_{\rm A}$
したがって,磁束密度$B_{\rm A}$は
$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot n_{\rm A}i_{\rm A}}$
さらに,コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は
$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S_{\rm A}\\ &= \mu \cdot n_{\rm A}S_{\rm A}i_{\rm A} }$
コイルの総巻き数は$n_{\rm B}l_{\rm B}$である.したがって,$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき,コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は
$\eqalign{V&= n_{\rm B}l_{\rm B} \dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&= n_{\rm B}l_{\rm B} \cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot n_{\rm A}S_{\rm A}i_{\rm A}\right) \\&=\mu n_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B}S_{\rm A}\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$
したがって,相互インダクタンスは
$M= \mu n_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B}S_{\rm A} $ (答)
コメント
問題(1)に関し、電流をコイルBに流した場合の相互インダクタンスMの式はどうなりますか?
また、相互誘導起電力は、電流をコイルA,Bどちらに流す方が大きくなりますか?
相互インダクタンスは同じとなります.ただ,この問題の場合コイルBに電流を流すと,コイルBの端の方は中央の半分の磁場となったりと計算が面倒なので,入試では相当工夫をしない限りでないと思います.
相互インダクタンスが同じなので,電流の変化が同じであれば相互誘導起電力の大きさも同じとなります.
回答ありがとうございます!
コイルBに電流を流す場合の相互インダクタンスの式は、M=μNaNbSb/Lbとはならないのでしょうか?(SaとLaがSbとLbになる)