[基本]単振動の演習問題⑧　運動方程式を立てる4

<解答>

(1)　運動方程式を立てます．物体は$x=L$を出発してから$x$軸の負の方向に速度をもっているので，動摩擦力がはたらく向きは$x$軸の正方向です．位置$x$における加速度を$x$軸の正の向きに$a$と設定しましょう．加速度の向きは座標の向きと一致させておいたほうがよいです．運動方程式は

$ma=-kx+\mu mg=-k\left(x-\dfrac{\mu mg}{k}\right)$

なので，中心座標は$x_{0}=\dfrac{\mu mg}{k}$，角振動数は$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$，周期は$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$となります．

(2)　振幅に注意しましょう．

振幅は振動の端から中心までの距離です．今回は振動のスタートは$x=L$です．（静かにはなした→速度0ではなした→振動の端）さらに(1)で調べた通り，振動の中心は$x_{0}=\dfrac{\mu mg}{k}$なので，中心から右端までの距離は$L-\dfrac{\mu mg}{k}$となります．また，最大の位置から$x$軸の負の方向へスタートしているので$\cos$型です．したがって，時刻$t$における座標$x$は

$x=\dfrac{\mu mg}{k}+\left(L-\dfrac{\mu mg}{k}\right)\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}}t$　$\cdots (\ast)$

(3)　振動の左端の位置は振幅$A$を使って$x_{0}-A$です．$A=L-\dfrac{\mu mg}{k}$なので，左端の位置$x_{\rm{L}}$は

$x_{\rm{L}}=\dfrac{2\mu mg}{k}-L$

となります．($\ast$)は座標$x$と時刻$t$の関係式なので，時刻を指定すると座標がわかりますし，座標を代入すると時刻を推定できます．そこで，$x_{\rm{L}}$を($\ast$)に代入してみましょう．

$\dfrac{2\mu mg}{k}-L=\dfrac{\mu mg}{k}+\left(L-\dfrac{\mu mg}{k}\right)\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}}t$

$-\left(L-\dfrac{\mu mg}{k}\right)=\left(L-\dfrac{\mu mg}{k}\right)\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}}t$

$\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}}t=-1$

このような解は無数にありますが，一番小さい正の数$t$が$\tau$です．

$\sqrt{\dfrac{k}{m}}\tau=\pi$　$\therefore$ $\tau=\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

つまり，周期$T$の半分ですね．このくらいの問題であれば，わざわざこのような大変な計算をしなくてもよいですが，確認のため計算してみました．

<解答>

(1)　問題7.1と違うのは斜面になったというだけではありません．$0 \leqq t\leqq \tau$の間は$x$軸の正方向に速度をもっているので，動摩擦力がはたらく向きは$x$軸の負の向きとなることに注意しましょう．また，動摩擦力の大きさは(動摩擦係数)×(垂直抗力)です．垂直抗力は$mg$ではありません．真面目に，斜面に垂直な方向のつり合いの式を立てて確認しましょう．

位置$x$(今回も$x>0$で考えました．動き出した瞬間は負の位置にいますが，しばらくすると物体は原点を超えて正の位置にいくはずです．$x<0$で考える場合は向きと大きさに注意です）における力を図示すると上のようになります．加速度は$x$軸の正方向にとって，運動方程式は

$ma=-kx-mg\sin \theta -\mu N$　$\cdots (\ast)$

また，垂直抗力の大きさを$N$として，斜面垂直な方向のつり合いの式は

$N=mg\cos \theta$　$\cdots (2\ast)$

($2\ast$)を($\ast$)に代入して$N$を消去すると

$\eqalign{ma&=-kx-mg\sin \theta -\mu mg\cos \theta\\&=-k\left(x+\dfrac{\sin \theta +\mu\cos \theta}{k}mg\right)}$

この運動方程式より，中心座標は$x_{0}=-\dfrac{\sin \theta +\mu \cos \theta}{k}mg$，角振動数は$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$，周期は$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$となります．

(2)　中心が$x_{0}=-\dfrac{\sin \theta +\mu \cos \theta}{k}mg$，左端が$x=-L$なので振幅$A$は

$A=x_{0}-(-L)=-\dfrac{\sin \theta +\mu \cos \theta}{k}mg+L$

となります．また，最小の位置から$x$軸の正方向へスタートするので$-\cos$型です．したがって，時刻$t$における物体の位置$x$は

$x=-\dfrac{\sin \theta +\mu \cos \theta}{k}mg-\left(L-\dfrac{\sin \theta +\mu \cos \theta}{k}mg\right)\cos\sqrt{\dfrac{k}{m}}t$

となります．