$LC$振動回路 回路の式を立て,単振動の運動方程式と見比べる

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PHYさん
PHYさん

今回は,$LC$振動回路について説明します.

入試問題でも割とよくみかけますが,とっつきにくい印象があるかもしれません.

直観的な理解の仕方もありますが,ここでは回路の式を立て,単振動の運動方程式と見比べることで,電流や電圧の時間変化を求めていきたいと思います.(微分方程式を書きますが,それを解くわけではなく,あくまでも単振動の運動方程式と比較するだけです.)

PHYさん
PHYさん

電気容量$C$のコンデンサー,自己インダクタンス$L$のコイル,スイッチを上図のようにつなげます.あらかじめコンデンサーには電荷$Q_{0}$が蓄えられているとしましょう.

Aに対するBの電位を$V$,この回路を時計回りに流れる電流を$i$とします.

時刻$t=0$でスイッチを閉じましょう.

PHYさん
PHYさん

時刻$t$において,コンデンサーには電荷$q$が蓄えられています.また,回路には$i$の電流が流れているとしましょう.

まず,コンデンサーの基本式からAに対するBの電位$V$を求めます.

★ コンデンサーの基本式

$q=CV$

$\therefore V=\dfrac{q}{C}$ $\dots (\ast)$

PHYさん
PHYさん

また,コイルに電流$i$が流れると,電流が流れる向きに$-L\dfrac{di}{dt}$の起電力が生じます.

これは,回路中のコイルの問題でよく使うので確認しておいてください.

なぜ,このように「-」がつくのかは,下の記事で説明しています.

すると,$(\ast)$から,キルヒホッフ則より

★ キルヒホッフ則

$\dfrac{q}{C}-L\dfrac{di}{dt}=0$ $\dots (2\ast)$

PHYさん
PHYさん

また,時間$\varDelta t$の間にコンデンサーの電荷が$\varDelta q$変化したとき,電流$i$は次のようになります.

$i=-\dfrac{\varDelta q}{\varDelta t}$

NEKO
NEKO

え?なんで,「$-$」がつくの?

PHYさん
PHYさん

今回は,微分方程式を立てたいので,$\varDelta t\to 0$として,

$i=-\dfrac{dq}{dt}$ $\dots (3\ast)$

とします.

$(3\ast)$を$(2\ast)$に代入すると

$\eqalign{\dfrac{q}{C}-L\dfrac{d}{dt}\left( -\dfrac{dq}{dt} \right)=0\cr L\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}=-\dfrac{1}{C}q  \dots (\sharp)}$

NEKO
NEKO

これは,単振動の運動方程式

$ma=-kx$

の形になっているね.加速度は位置$x$の2階微分だから

$a=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}$

なので,

$m\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx$

この単振動の角振動数$\omega$は

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

だったね.

単振動を忘れてしまった人は,こちらのシリーズで演習問題があるので,確実に解けるようにしておこう.

NEKO
NEKO

$ L\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}}=-\dfrac{1}{C}q $

だから,コンデンサーに蓄えられる電荷は時間$t$とともに単振動の時間変化と同様な変化をするんだね.コンデンサーにはもともと電荷$Q_{0}$が蓄えられていて,これがmaxのはずだから,スイッチを入れた直後は電荷は減るね.つまり,$\cos$型だ!

角振動数$\omega$は,

$\omega=\sqrt{\dfrac{1}{LC}}$

だから,時刻$t$におけるコンデンサーに蓄えられている電荷$q$は

$q=Q_{0}\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t\right)$ $\dots (4\ast)$

になるね.

PHYさん
PHYさん

$(4\ast)$を$(3\ast)$に代入して,$i$を計算しましょう.

(三角関数の微分,合成関数の微分を使います.できない人は,次の記事で練習しておくとよいでしょう.)

$(4\ast)$を$(3\ast)$に代入して

$\eqalign{i&=-\dfrac{d}{dt}\left( Q_{0}\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t\right)\right)\\&=-Q_{0} \left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t \right) ^{\prime}\left\{-\sin\left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t \right)\right\} \\&=\dfrac{Q_{0}}{\sqrt{LC}}\sin\left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t \right)}$

NEKO
NEKO

$I_{0}= \dfrac{Q_{0}}{\sqrt{LC}} $とおくと

$i=I_{0} \sin\left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t \right) $

となるね.

PHYさん
PHYさん

また,$(4\ast)$を$(\ast)$に代入すると電位$V$がわかります.

$(4\ast)$を$(\ast)$に代入して

$V=\dfrac{q}{C}= \dfrac{Q_{0}}{C}\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t\right) $

NEKO
NEKO

電流も電位も単振動しているんだね.

角振動数が$\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

だから,周期$T$は

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{LC}$

だね.

PHYさん
PHYさん

そうですね.

ちなみに,電流と電圧のグラフをかくと次のようになります.

赤い方は電圧(Aに対するBの電位),青い方は電流です.

電圧の最大値は$V_{0}$としています.

NEKO
NEKO

電圧の絶対値が最大になるときは,電流が0になって,電流の絶対値が最大になるときは,電圧が0になるんだね.

PHYさん
PHYさん

はい,このことは,エネルギー保存則でよく使います.

時刻$t$におけるコンデンサーの静電エネルギーとコイルの蓄えられているエネルギーの和$U$は次のようになります.

$\eqalign{U&=\dfrac{1}{2}CV^{2}+\dfrac{1}{2}Li^{2}\\&=\dfrac{1}{2}C\left\{ \dfrac{Q_{0}}{C}\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t\right) \right\}^{2}+\dfrac{1}{2}L\left\{ \dfrac{Q_{0}}{\sqrt{LC}}\sin\left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t \right) \right\}^{2}\\&=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}\left\{\cos^{2} \left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t\right) +\sin^{2} \left(\dfrac{1}{\sqrt{LC}}t\right) \right\}\\&=\dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}}$

NEKO
NEKO

$\cos^2 (\omega t)+\sin^{2}(\omega t)=1$だから,$U$は時間に依らず一定になるんだね.

PHYさん
PHYさん

具体的な$LC$振動回路の問題は別にやりますが,ここでは,次のことを確認しておきましょう.

  • 電荷,電流,電圧はそれぞれ単振動する.
  • $\dfrac{1}{2}CV^{2}+\dfrac{1}{2}Li^{2}=$一定になる.

を確認しておきましょう.

※ ちなみに,今回は$q$の微分方程式から導きましたが,$(\ast)$~$(3\ast)$を$i$や$V$の微分方程式の形にすると

$L\dfrac{d^{2}i}{dt^{2}}=-\dfrac{i}{C}$

$L\dfrac{d^{2}V}{dt^{2}}=-\dfrac{V}{C}$

となり,いずれも同じ微分方程式となります.

コメント

  1. […] 直列合成すると,前回の内容と同様に考えることができます. […]

  2. […] $LC$振動回路 回路の式を立て,単振動の運動方程式と見比べるPHYさん今回… […]