$LC$振動回路　やや難　片方だけに電荷が蓄えられてからスタートする場合

★　コンデンサの基本式

容量$2C , C$の電圧を$V_{1} , V_{2}$として

$q_{1}=2CV_{1}$　$\therefore　V_{1}=\dfrac{q_{1}}{2C}　\dots (\ast)$

$q_{2}=CV_{2}$　$\therefore　V_{2}=\dfrac{q_{2}}{C}　\dots (2\ast)$

★　電荷保存則

$-q_{1}+q_{2}=-Q_{0}$　$\therefore　q_{1}=q_{2}+Q_{0}$　$\dots (3\ast)$

★　電流の定義式

$i=-\dfrac{dq_{1}}{dt}=-\dfrac{dq_{2}}{dt}$　$\dots (4\ast)$

★　キルヒホッフ則

$V_{1}+V_{2}-L\dfrac{di}{dt}=0$

$(\ast)，(2\ast)$より

$\dfrac{q_{1}}{2C}+\dfrac{q_{2}}{C}-L\dfrac{di}{dt}=0$

$(3\ast)$と$(4\ast)$より，$q_{2}$に関する微分方程式をつくって

$\dfrac{1}{2C}\left( q_{2}+Q_{0} \right)+\dfrac{q_{2}}{C}-L\dfrac{d}{dt}\left( -\dfrac{dq_{2}}{dt} \right)=0$

$ \eqalign{\therefore　L\dfrac{d^{2}q_{2}}{dt^{2}}&=-\left(\dfrac{1}{2C}+\dfrac{1}{C}\right)q_{2}-\dfrac{Q_{0}}{2C}\\&=-\dfrac{3}{2C}q_{2}-\dfrac{Q_{0}}{2C}\\&=-\dfrac{3}{2C}\left(q_{2}+\dfrac{Q_{0}}{3}\right)}$

★　$t=0$のとき，$q_{2}=0$を$(\sharp)$を代入して

$0=-\dfrac{Q_{0}}{3}+A\sin\delta$　$\dots　(5\ast)$

★　$(\sharp)$を$(4\ast)$に代入して

$\eqalign{i&=-\dfrac{d}{dt}\left( -\dfrac{Q_{0}}{3}+A\sin(\omega t+\delta) \right)\\&=-A\omega \cos(\omega t+\delta)}$

ここで，$t=0$のとき，$i=0$より

$0=-A\omega\cos(\delta)$　$\therefore \cos(\delta)=0$

したがって，$\delta =\dfrac{\pi}{2}　\dots (6\ast)$．これを$(5\ast)$に代入して

$ 0=-\dfrac{Q_{0}}{3}+A\sin\dfrac{\pi}{2} $

$A=\dfrac{Q_{0}}{3}$　$\dots (7\ast)$

$(6\ast)$，$(7\ast)$を$(\sharp)$を代入して

$\eqalign{q_{2}&= -\dfrac{Q_{0}}{3}+\dfrac{Q_{0}}{3}\sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&= -\dfrac{Q_{0}}{3}+\dfrac{Q_{0}}{3} \cos(\omega t)} \dots (8\ast)$

$(8\ast)$を$(3\ast)$に代入して$q_{1}$を求めると

$\eqalign{q_{1}&=q_{2}+Q_{0}\\&= -\dfrac{Q_{0}}{3}+\dfrac{Q_{0}}{3} \cos(\omega t) +Q_{0}\\&=\dfrac{2}{3}Q_{0}+\dfrac{Q_{0}}{3}\cos(\omega t)}$

また，$(8\ast)$を$(4\ast)$に代入すると

$\eqalign{i&=-\dfrac{dq_{2}}{dt}\\&=-\dfrac{d}{dt}\left( -\dfrac{Q_{0}}{3}+\dfrac{Q_{0}}{3} \cos(\omega t) \right)\\&=\dfrac{Q_{0}\omega}{3}\sin(\omega t)}$