サルが木から落ちた瞬間，銃を撃ったとしましょう．このとき，弾丸がサルに当たるためには，銃をどのような角度に向ければいいか？？
ただ，サルがあまりにもかわいそうなので，今回は十分小さい球を初速度0で落とした瞬間に銃で撃つことを考えましょう．
上図のような$xy$直交座標の原点Oに質点Aを，座標$(a , h)\,(a , h>0)$に質点Bを固定する．$y$軸の正の向きを鉛直上向きとし，$t=0$で$x$軸正方向より，反時計回りに角度$\theta\,\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$の方向に速さ$v_{0}$の初速度を与える．これと当時に$t=0$において質点Bの固定をはずし，自由落下させる．次の問いに答えよ．ただし，重力加速度の大きさを$g$とする．また，空気抵抗は無視できるとする．
(1) 時刻$t$における質点Aの座標$(x_{\rm A} , y_{\rm A})$と質点Bの座標$(x_{\rm B} , y_{\rm B})$をそれぞれ求めよ．
(2) 質点Aの初速度を与えた角度$\theta$を調整すると，質点Aと質点Bが衝突した．ただし，質点Aと質点Bは水平面より十分高いところにあり，水平面とは衝突をしないものとする．衝突したときの$\tan\theta$を，$a , h$を用いて表せ．
＜解答＞
今回，質点A，Bにはたらく力は重力のみなので，それぞれの物体は等加速度運動をします．
等加速度運動の式を確認しましょう．
時刻$0$における速度（初速度）を$v_{0}$，時刻$t$における速度を$v$．
また，時刻$0$からの変位を$x$とする．物体が加速度$a$で等加速度運動をしているとき，次の式が成り立つ．
$v=v_{0}+at$ $\cdots (\ast)$
$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}$ $\cdots (2\ast)$
また，$(\ast)$，$(2\ast)$から$t$を消去すると
$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\cdots (3\ast)$
質点Aと質点Bの初速度，加速度，初期位置を調べましょう．
Bの初速度は0なので，いいのですが，Aは$x$方向と$y$方向に分解します．
Aの$x$方向の初速度は$v_{0}\cos\theta$，$y$方向の初速度は$v_{0}\sin\theta$となります．
また，A，Bともに$x$方向には力がはたらかないため，$x$方向の加速度は0．$y$方向は$y$軸の負の向きに重力がはたらくので，$y$方向の加速度は$-g$です．
最後に，Aは$t=0$で原点にあるので，初期位置は$x$座標も$y$座標も0，Bの初期位置は問題文に書かれているように，$x$座標は$a$，$y$座標は$h$です．
質点Aと質点Bの等加速度運動の変位の式から座標を求めます．
初期位置に変位を足したものが座標となります．
★ Aの等加速度運動の変位の式から座標$(x_{\rm A} , y_{\rm A})$を求めると
$x_{\rm A}=v_{0}\cdot (\cos\theta)\cdot t$
$y_{\rm A}=v_{0}\cdot (\sin\theta)\cdot t+\dfrac{1}{2}\cdot (-g)\cdot t^{2}$
★ Bの等加速度運動の変位の式から座標$(x_{\rm B} , y_{\rm B})$を求めると
$x_{\rm B}=0\cdot t+\dfrac{1}{2}\cdot 0\cdot t^{2}+a=a$
$y_{\rm B}=0\cdot t+\dfrac{1}{2}\cdot (-g)\cdot t^{2}+h$
以上より，
$(x_{\rm A} , y_{\rm A})=\left( v_{0}\cdot (\cos\theta)\cdot t , v_{0}\cdot (\sin\theta)\cdot t-\dfrac{1}{2}gt^{2} \right)$ (答)
$(x_{\rm B} , y_{\rm B})=\left(a , -\dfrac{1}{2}gt^{2}+h\right)$ (答)
(2)
「衝突」するので，座標が一致します．(1)で得た式において
$x_{\rm A}=x_{\rm B}$ かつ $y_{\rm A}=y_{\rm B}$
より
★ $x_{\rm A}=x_{\rm B}$
$ v_{0}\cdot (\cos\theta)\cdot t = a$ $\cdots (\sharp)$
★ $y_{\rm A}=y_{\rm B}$
$ v_{0}\cdot (\sin\theta)\cdot t\cancel{-\dfrac{1}{2}gt^{2}} = \cancel{-\dfrac{1}{2}gt^{2}}+h $
$\therefore v_{0}\cdot (\sin\theta)\cdot t=h$ $\cdots (2\sharp)$
$(\sharp)$と$(2\sharp)$から$t$を消去します．
$\dfrac{(2\sharp)}{(\sharp)}$を計算しましょう．
★ $\dfrac{(2\sharp)}{(\sharp)}$
$\dfrac{ \cancel{v_{0}}\cdot (\sin\theta)\cdot \cancel{t} }{ \cancel{v_{0}}\cdot (\cos\theta)\cdot \cancel{t} }=\dfrac{h}{a}$
$\therefore \tan\theta=\dfrac{h}{a}$ (答)
つまり，銃口は質点Bに向けておくといいんだね．
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