上図のような$xy$直交座標の原点Oに質点Aを，座標$(a , h)\,(a , h>0)$に質点Bを固定する．$y$軸の正の向きを鉛直上向きとし，$t=0$で$x$軸正方向より，反時計回りに角度$\theta\,\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$の方向に速さ$v_{0}$の初速度を与える．これと当時に$t=0$において質点Bの固定をはずし，自由落下させる．次の問いに答えよ．ただし，重力加速度の大きさを$g$とする．また，空気抵抗は無視できるとする．
(1) 時刻$t$における質点Aの速度$(v_{{\rm A}x}, v_{{\rm A}y})$と， 質点Bの速度$(v_{{\rm B}x}, v_{{\rm B}y})$を求めよ．
(2) 質点Aの初速度を与えた角度$\theta$を調整すると，質点Aと質点Bが衝突した．ただし，質点Aと質点Bは水平面より十分高いところにあり，水平面とは衝突をしないものとする．Bに対するAの相対速度を考えることで，衝突したときの$\tan\theta$を，$a , h$を求めよ．
<解答>
(1)
今回，質点A，Bにはたらく力は重力のみなので，それぞれの物体は等加速度運動をします．
等加速度運動の式を確認しましょう．
時刻$0$における速度（初速度）を$v_{0}$，時刻$t$における速度を$v$．
また，時刻$0$からの変位を$x$とする．物体が加速度$a$で等加速度運動をしているとき，次の式が成り立つ．
$v=v_{0}+at$ $\cdots (\ast)$
$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}$ $\cdots (2\ast)$
また，$(\ast)$，$(2\ast)$から$t$を消去すると
$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\cdots (3\ast)$
質点Aと質点Bの初速度，加速度を調べましょう．
Bの初速度は0なので，いいのですが，Aは$x$方向と$y$方向に分解します．
Aの$x$方向の初速度は$v_{0}\cos\theta$，$y$方向の初速度は$v_{0}\sin\theta$となります．
また，A，Bともに$x$方向には力がはたらかないため，$x$方向の加速度は0．$y$方向は$y$軸の負の向きに重力がはたらくので，$y$方向の加速度は$-g$です．
★ Aの等加速度運動の速度の式
$ v_{{\rm A}x }=v_{0}\cdot (\cos\theta)$
$ v_{{\rm A}y }=v_{0}\cdot (\sin\theta)+(-gt)$
★ Bの等加速度運動の速度の式
$ v_{{\rm B}x }=0$
$ v_{{\rm A}y }=-gt$
したがって，時刻$t$におけるAとBの速度$v_{\rm A}$，$v_{\rm B}$はそれぞれ
$v_{\rm A}=( v_{0}\cos\theta， v_{0}\sin\theta-gt )$ (答)
$v_{\rm B}=(0 , -gt)$ (答)
(2)
速度$v_{\rm A}$と速度$v_{\rm B}$は静止した人から見た質点の速度です．
今回は質点Bからみた質点Bの速度を考えましょう．
相対速度の計算ができない人はこちらを参考にしてね．
BからみたAの速度を$v_{\rm B\rightarrow A}$とすると
$v_{\rm B}$$+$$v_{\rm B\rightarrow A}$$=$$v_{\rm A}$
$\eqalign{\therefore v_{\rm B\rightarrow A}&=v_{\rm A}-v_{\rm B}\\&= ( v_{0}\cos\theta ， v_{0}\sin\theta-gt ) -(0 , -gt)\\&=( v_{0}\cos\theta , v_{0}\sin\theta ) }$
BからみたAの速度は
$ ( v_{0}\cos\theta , v_{0}\sin\theta ) $
なので，$x$方向の速度も$y$方向の速度も時間に依らず一定だね．さらに，それぞれの速度成分が変化しないので，速度の方向も変わらないんだね．
ということは，
BからAをみると，一定の速さでまっすぐに動いているように見えるんだ．
AがBに向かうためには，$t=0$の段階で，速度がAの方向を向いていないといけないね．（BからAをみると，その後の速度の向きが変化しないので）
つまり，上図のように，
$\tan\theta=\dfrac{h}{a}$ (答)
を満たす角度$\theta$で投げ上げれば衝突するんだね．
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