モンキーハンティング2 相対速度の利用

分野別
問題

上図のような$xy$直交座標の原点Oに質点Aを,座標$(a , h)\,(a , h>0)$に質点Bを固定する.$y$軸の正の向きを鉛直上向きとし,$t=0$で$x$軸正方向より,反時計回りに角度$\theta\,\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$の方向に速さ$v_{0}$の初速度を与える.これと当時に$t=0$において質点Bの固定をはずし,自由落下させる.次の問いに答えよ.ただし,重力加速度の大きさを$g$とする.また,空気抵抗は無視できるとする.

(1) 時刻$t$における質点Aの速度$(v_{{\rm A}x}, v_{{\rm A}y})$と, 質点Bの速度$(v_{{\rm B}x}, v_{{\rm B}y})$を求めよ.

(2) 質点Aの初速度を与えた角度$\theta$を調整すると,質点Aと質点Bが衝突した.ただし,質点Aと質点Bは水平面より十分高いところにあり,水平面とは衝突をしないものとする.Bに対するAの相対速度を考えることで,衝突したときの$\tan\theta$を,$a , h$を求めよ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

今回,質点A,Bにはたらく力は重力のみなので,それぞれの物体は等加速度運動をします.

等加速度運動の式を確認しましょう.

等加速度運動の式

時刻$0$における速度(初速度)を$v_{0}$,時刻$t$における速度を$v$.

また,時刻$0$からの変位を$x$とする.物体が加速度$a$で等加速度運動をしているとき,次の式が成り立つ.

$v=v_{0}+at$ $\cdots (\ast)$

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}$ $\cdots (2\ast)$

また,$(\ast)$,$(2\ast)$から$t$を消去すると

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\cdots (3\ast)$

NEKO
NEKO

質点Aと質点Bの初速度,加速度を調べましょう.

Bの初速度は0なので,いいのですが,Aは$x$方向と$y$方向に分解します.

NEKO
NEKO

Aの$x$方向の初速度は$v_{0}\cos\theta$,$y$方向の初速度は$v_{0}\sin\theta$となります.

また,A,Bともに$x$方向には力がはたらかないため,$x$方向の加速度は0.$y$方向は$y$軸の負の向きに重力がはたらくので,$y$方向の加速度は$-g$です.

★ Aの等加速度運動の速度の式

$ v_{{\rm A}x }=v_{0}\cdot (\cos\theta)$

$ v_{{\rm A}y }=v_{0}\cdot (\sin\theta)+(-gt)$

★ Bの等加速度運動の速度の式

$ v_{{\rm B}x }=0$

$ v_{{\rm A}y }=-gt$

NEKO
NEKO

したがって,時刻$t$におけるAとBの速度$v_{\rm A}$,$v_{\rm B}$はそれぞれ

$v_{\rm A}=( v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta-gt )$ (答)

$v_{\rm B}=(0 , -gt)$ (答)

(2)

BからみたAの速度を$v_{\rm B\rightarrow A}$とすると

$v_{\rm B}$$+$$v_{\rm B\rightarrow A}$$=$$v_{\rm A}$

$\eqalign{\therefore v_{\rm B\rightarrow A}&=v_{\rm A}-v_{\rm B}\\&= ( v_{0}\cos\theta , v_{0}\sin\theta-gt ) -(0 , -gt)\\&=( v_{0}\cos\theta , v_{0}\sin\theta ) }$

NEKO
NEKO

BからみたAの速度は

$ ( v_{0}\cos\theta , v_{0}\sin\theta ) $

なので,$x$方向の速度も$y$方向の速度も時間に依らず一定だね.さらに,それぞれの速度成分が変化しないので,速度の方向も変わらないんだね.

ということは,

BからAをみると,一定の速さでまっすぐに動いているように見えるんだ.

AがBに向かうためには,$t=0$の段階で,速度がAの方向を向いていないといけないね.(BからAをみると,その後の速度の向きが変化しないので)

NEKO
NEKO

つまり,上図のように,

$\tan\theta=\dfrac{h}{a}$ (答)

を満たす角度$\theta$で投げ上げれば衝突するんだね.

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