[標準]単振動の演習問題②　座標から時刻を，時刻から座標を

<解答>

単位円上の座標$(X,Y)$を考えます．このとき，$X$軸の正の方向からのなす角を$\theta$とするときとするとき，

$\cos \theta =X$，$\sin \theta =Y$

と定義します．

(1)　$\sin x=\dfrac{1}{2}$なので，単位円上の$Y$座標が$\dfrac{1}{2}$となるような角度を調べればよいですね．

したがって，答えは$x$$=$$\dfrac{\pi}{6}$または$\dfrac{5}{6}\pi$となります．

(2)　$\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$なので，単位円上の$X$座標が$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$である角度を調べればよいですね．

したがって，答えは$x=$$\dfrac{3}{4}\pi$または$\dfrac{5}{4}\pi$となります．

(3)　$a\sin x =a$は両辺$a$で割ると，$\sin x=1$なので，単位円上の$Y$座標が1である角度を調べればよいですね．

したがって，$x=$$\dfrac{\pi}{2}$となります．

<解答>

(1)　$t=\dfrac{T}{4}$を$x=A\sin\dfrac{2\pi}{T}t$に代入すると

$\eqalign{x&=A\sin \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{T}{4}\\&=A\sin \dfrac{\pi}{2}\\&=A}$

(2)　$t=\dfrac{T}{8}$を$x=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \dfrac{2\pi}{T}t$に代入して

$\eqalign{x&=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{T}{8}\\&=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \dfrac {\pi}{4}\\&=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{\sqrt{2}k}\\&=-\dfrac{mg}{k}\cdot \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}$

<解答>

(1) $x=-A$を$x=-A\sin \dfrac{2\pi}{T}t$に代入して

$\eqalign{-A&=-A\sin \dfrac{2\pi}{T}t\cr \sin \dfrac{2\pi}{T}t&=1\cr \dfrac{2\pi}{T}t&=\dfrac{\pi}{2}}$

$\therefore$　$t=\dfrac{T}{4}$

(2)　$x=\dfrac{A}{2}$を$x=A\cos \dfrac{2\pi}{T}t$に代入すると

$\eqalign{\dfrac{A}{2}&=A\cos \dfrac{2\pi}{T}t \cr \cos \dfrac{2\pi}{T}t &=\dfrac{1}{2} \cr \dfrac{2\pi}{T}t&=\dfrac{\pi}{3}}$

$\therefore$　$t=\dfrac{T}{6}$

(3)　$x=A$を$x=\sqrt{2}A\sin \dfrac{2\pi}{T}t$に代入すると

$\eqalign{A&=\sqrt{2}A\sin \dfrac{2\pi}{T}t \cr \sin \dfrac{2\pi}{T}t&=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cr \dfrac{2\pi}{T}t&=\dfrac{\pi}{4}}$

$\therefore$　$t=\dfrac{T}{8}$