[標準]単振動の演習問題② 座標から時刻を,時刻から座標を

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NEKO
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今回は内容は

  • 物体がある座標にいるときの時刻を求める.
  • ある時刻における物体の座標を求める.

という計算練習です.要するに三角方程式の計算です.では,まずは数学の復習です.

問題2.1 三角方程式

次の方程式を満たす$x$の値を求めよ.ただし,$0\leqq x< 2\pi$とする.

(1) $\sin x=\dfrac{1}{2}$

(2) $\sqrt{2}\cos x=-1$

(3) $a\sin x =a$ ($a\neq 0$)

<解答>

単位円上の座標$(X,Y)$を考えます.このとき,$X$軸の正の方向からのなす角を$\theta$とするときとするとき,

$\cos \theta =X$$\sin \theta =Y$

と定義します.

(1) $\sin x=\dfrac{1}{2}$なので,単位円上の$Y$座標が$\dfrac{1}{2}$となるような角度を調べればよいですね.

したがって,答えは$x$$=$$\dfrac{\pi}{6}$または$\dfrac{5}{6}\pi$となります.

(2) $\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$なので,単位円上の$X$座標が$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$である角度を調べればよいですね.

したがって,答えは$x=$$\dfrac{3}{4}\pi$または$\dfrac{5}{4}\pi$となります.

(3) $a\sin x =a$は両辺$a$で割ると,$\sin x=1$なので,単位円上の$Y$座標が1である角度を調べればよいですね.

したがって,$x=$$\dfrac{\pi}{2}$となります.

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それでは,それでは,物理量が出てくる問題を扱いましょう.

問題2.2 時刻から座標を調べる.

次の問いに答えよ.

(1) 時刻$t$における物体の座標$x$の関係が$x=A\sin\dfrac{2\pi}{T}t$であったとする.$t=\dfrac{T}{4}$のときの物体の座標を求めよ.

(2) 時刻$t$における物体の座標$x$の関係が$x=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \dfrac{2\pi}{T}t$であったとする.$t=\dfrac{T}{8}$のとき,物体の座標を求めよ.

<解答>

(1) $t=\dfrac{T}{4}$を$x=A\sin\dfrac{2\pi}{T}t$に代入すると

$\eqalign{x&=A\sin \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{T}{4}\\&=A\sin \dfrac{\pi}{2}\\&=A}$

(2) $t=\dfrac{T}{8}$を$x=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \dfrac{2\pi}{T}t$に代入して

$\eqalign{x&=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{T}{8}\\&=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{k}\cos \dfrac {\pi}{4}\\&=-\dfrac{mg}{k}-\dfrac{mg}{\sqrt{2}k}\\&=-\dfrac{mg}{k}\cdot \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}$

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続いて,座標を指定したときに時刻を求める計算です.

問題2.3 時刻から座標を求める.

次の問いに答えよ.

(1) 時刻$t$における物体の座標$x$の関係が$x=-A\sin \dfrac{2\pi}{T}t$であるとする.$x=-A$に達する時刻の中で一番小さい値を求めよ.

(2) 時刻$t$における物体の座標$x$の関係が$x=A\cos \dfrac{2\pi}{T}t$であるとする.$x=\dfrac{A}{2}$に達する時刻の中で一番小さい値を求めよ.

(3) 時刻$t$における物体の座標$x$の関係が$x=\sqrt{2}A\sin \dfrac{2\pi}{T}t$であるとする.$x=A$になる時刻の中で一番小さい値を求めよ.

<解答>

(1) $x=-A$を$x=-A\sin \dfrac{2\pi}{T}t$に代入して

$\eqalign{-A&=-A\sin \dfrac{2\pi}{T}t\cr \sin \dfrac{2\pi}{T}t&=1\cr \dfrac{2\pi}{T}t&=\dfrac{\pi}{2}}$

$\therefore$ $t=\dfrac{T}{4}$

(2) $x=\dfrac{A}{2}$を$x=A\cos \dfrac{2\pi}{T}t$に代入すると

$\eqalign{\dfrac{A}{2}&=A\cos \dfrac{2\pi}{T}t \cr \cos \dfrac{2\pi}{T}t &=\dfrac{1}{2} \cr \dfrac{2\pi}{T}t&=\dfrac{\pi}{3}}$

$\therefore$ $t=\dfrac{T}{6}$

(3) $x=A$を$x=\sqrt{2}A\sin \dfrac{2\pi}{T}t$に代入すると

$\eqalign{A&=\sqrt{2}A\sin \dfrac{2\pi}{T}t \cr \sin \dfrac{2\pi}{T}t&=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cr \dfrac{2\pi}{T}t&=\dfrac{\pi}{4}}$

$\therefore$ $t=\dfrac{T}{8}$

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