＜解答＞
ポイントは次の3つ
- 万有引力のみがはたらくとき，力学的エネルギー$E=0$の運動は放物線を描く．
- 焦点と準線による放物線の定義から放物線の式を導出
- 万有引力のみはたらくので，面積速度一定である．したがって，（面積）$=$(面積)$\times$(面積速度)が成り立ち，この式より，時間を求める．
万有引力を受ける運動の力学エネルギー$E$の値による分類
万有引力を受ける運動は力学的エネルギー$E$の値によって分類できます．
$E$の値によって，次の軌道を描く
$E<0 \cdots $ 円，楕円
$E=0 \cdots $ 放物線
$E>0 \cdots $ 双曲線
今回は，$(R，0)$での力学的エネルギーが
$E=\dfrac{1}{2}m\left(\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}\right)^{2}-\dfrac{GMm}{R}=0$
なので，放物線を描きます．
焦点と準線による放物線の定義から放物線の式を導出
放物線は次のように定義できます．
焦点をF，放物線上の点をP，Pから準線に下した垂線の交点をHとするとき，
$\rm PF=PH$
を満たす．
今回，焦点はO$(0，0)$で準線は$x=2R$です．
質量$m$の物体の位置をP$(x，y)$とすると，Pから準線に下した垂線の交点Hは$(2R，y)$となります．したがって，放物線の定義$\rm OP=PH$から
$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2R-x$
両辺$2$乗して整理すると
$x=-\dfrac{y^{2}}{4R}+R$
この式より，$y$軸との交点は$y=2R$であることがわかります．
次に$x$軸，$y$軸と放物線で囲まれた部分の面積(第一象限部分)の面積$S$を求めます．
$\eqalign{S&=\int_{0}^{2R}xdy=\int_{0}^{2R}\left(-\dfrac{y^{2}}{4R}+R\right)dy\\&\left[-\dfrac{y^{3}}{12}+Ry\right]_{0}^{2R}=\dfrac{4}{3}R^{3}}$
面積速度を用いて時間を求める
$\rm O$を中心として物体が運動しているときを考える．
物体の軌道面と平行な力が中心$\rm O$（または中心軸）を向くとき，面積速度$\dfrac{\Delta S}{\Delta t}$が一定となる．
面積速度は中心$\rm O$と物体を結ぶ線分が単位時間あたりに通過する面積である．
上図のように，$\rm O$と物体の距離が$r$，物体の速さを$v$，$\rm O$と物体を結ぶ線分と速度とのなす角を$\theta$とすると，面積速度は
$\dfrac{\Delta S}{\Delta t}=\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$
面積速度$\times$微小時間$=$微小時間に通過した面積
より，
面積速度$\times $周期$=$1周して通過した面積の和
$S=\dfrac{4}{3}R^{2}$で，面積速度は$A=\dfrac{1}{2}R\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$なので，求める時間$t$は
$t=\dfrac{S}{A}=\dfrac{\dfrac{4}{3}R^{2}}{\dfrac{1}{2}R\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}}=\dfrac{4}{3}R\sqrt{\dfrac{2R}{GM}}$
したがって，答えは$t=\dfrac{4}{3}R\sqrt{\dfrac{2R}{GM}}$
コメント