twitterの問題16の解答 | Physicmath（フィジクマス）

波の式から平面波の速さを求める．#平面波　 #波の式　 #高校物理 pic.twitter.com/LOJi1ldQum
— フィジクマス (@physicmath2) October 21, 2022

<解答>

まず，$x$方向，$y$方向の速度をそれぞれ求めてみる．

波の式から波の伝わる速度を求める方法はこちらの記事でも扱っています．

★　$x$方向の速度

まずは$y=y_{0}$と固定して，時刻$t$のとき$x$にあった山（別に山でなくてもいい．とりあえず，上図ではわかりやすい山の部分に着目してみた）が時刻$t+\varDelta t$では$x+\varDelta x$に移動したとする．このときの移動前後での位相が等しいことから

$\cancel{2\pi}\left\{\dfrac{t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}x+y_{0}}{2\lambda}\right\}=\cancel{2\pi}\left\{\dfrac{t+\varDelta t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}(x+\varDelta x)+y_{0}}{2\lambda}\right\}$

$\therefore\,\, \cancel{\dfrac{t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}x+y_{0}}{2\lambda}}=\cancel{\dfrac{t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}x+y_{0}}{2\lambda}}+\dfrac{\varDelta t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}\varDelta x}{2\lambda}$

$\therefore\,\, \dfrac{\varDelta x}{\varDelta t}=\dfrac{2\lambda}{\sqrt{3}T}$　$\cdots (\ast)$

★　$y$方向の速度

今度は$x=x_{0}$と固定して，時刻$t$のとき$x$にあった山が時刻$t+\varDelta t$では$y+\varDelta y$に移動したとする．このときの移動前後での位相が等しいことから

$\cancel{2\pi}\left\{\dfrac{t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}x_{0}+y}{2\lambda}\right\}=\cancel{2\pi}\left\{\dfrac{t+\varDelta t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}x_{0}+y+\varDelta y}{2\lambda}\right\}$

$\therefore\,\, \cancel{\dfrac{t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}x_{0}+y}{2\lambda}}=\cancel{\dfrac{t}{T}-\dfrac{\sqrt{3}x_{0}+y}{2\lambda}}+\dfrac{\varDelta t}{T}-\dfrac{\varDelta y}{2\lambda}$

$\therefore\,\, \dfrac{\varDelta y}{\varDelta t}=\dfrac{2\lambda}{T}$　$\cdots (2\ast)$

★　$x$方向，$y$方向の速度から平面波の伝わる速度を求める．

$(\ast)，(2\ast)$より，$x$方向に速さ$\dfrac{2\lambda}{\sqrt{3}T}$，$y$方向に速さ$\dfrac{2\lambda}{T}$なので，図の赤色部分の大きさを求めればよい．そのために，$\bigtriangleup{\rm ABC}$の面積を2通りで表現する．赤色部分の大きさを$v\varDelta t$として

$\dfrac{1}{2}\times {\rm AB}\times {\rm AC}=\dfrac{1}{2}\times {\rm BC}\times v\varDelta t　　\cdots (3\ast)$

$\rm BC$の長さは三平方の定理より

${\rm BC}=\sqrt{\left(\dfrac{2\lambda}{\sqrt{3}T}\varDelta t\right)^{2}+\left(\dfrac{2\lambda}{T}\varDelta t\right)^{2}}=\dfrac{4\lambda}{\sqrt{3}T}\varDelta t　\cdots (4\ast)$

$(4\ast)$を$(3\ast)$に代入して

$\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2\lambda}{\sqrt{3}T}\varDelta t\times \dfrac{2\lambda}{T}\varDelta t=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4\lambda}{\sqrt{3}T}\times v\varDelta t$

$\therefore\,\, v=\dfrac{\lambda}{T}$(答)

※　ちなみに$v\varDelta t=\sqrt{\rm AB^{2}+AC^{2}}$とする人を時々みかける．なぜこのようにしてはいけないのか下の記事を参考にしてみてください．