twitterの問題34の解答

力学

<類題>

<問題>

<解答>

(1) 運動量変化と力積の関係を使って計算する.

力積は図2の$F-t$グラフから求める.そもそも力積とは(力)$\times $(時間)なので,$F-t$グラフと$t$軸で囲まれた面積が力積の大きさとなる.

運動量変化=力積

時間$\varDelta t$の間の速度の変化を$\varDelta \vec{v}$とする.質量を$m$とすると

$m\varDelta \vec{v}=$力積

の関係がある.

$t=t_{0}$と$F-t$グラフの直線と$t$軸で囲まれた面積は

$\dfrac{1}{2}F_{0}t_{0}$

なので,$t=0$から$t=t_{0}$までに物体に加えた力積の和は$\dfrac{1}{2}F_{0}t_{0}$となる.

時刻$t=t_{0}$における物体の速度を$v$とすると,運動量変化と力積の関係より(初速度が$-v_{0}$であることに注意!)

$mv-m\times (-v_{0})=\dfrac{1}{2}F_{0}t_{0}$

$\therefore\,\, v=-v_{0}+\dfrac{F_{0}t_{0}}{2m}$(答)

(2) $v=0$となる時刻を$T$とする.このとき,$T<t_{0}$であればよい.

まず,時刻$T$までに加えられた力積は,グラフの面積から

$\dfrac{1}{2}T\times \dfrac{F_{0}}{t_{0}}T=\dfrac{F_{0}T^{2}}{2t_{0}}$

運動量変化と力積の関係の関係より,

$m\times 0-m\times (-v_{0})=\dfrac{F_{0}T^{2}}{2t_{0}}$

$T^{2}=\dfrac{2mv_{0}t_{0}}{F_{0}}$ $\therefore\,\, T=\sqrt{\dfrac{2mv_{0}t_{0}}{F_{0}}}$

条件は,$T<t_{0}$であるから,

$\sqrt{\dfrac{2mv_{0}t_{0}}{F_{0}}}<t_{0}$

2乗して

$\dfrac{2mv_{0}\cancel{t_{0}}}{F_{0}}<t_{0}^{\cancel{2}}$

$\therefore\,\, \dfrac{2mv_{0}}{F_{0}}<t_{0}$ (答)

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