コンデンサーの極板を動かしたときのエネルギーの式に「静電気力がする仕事」を入れない理由

分野別
NEKO
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極板面積$S$の2枚の金属板に電荷$Q,-Q$が蓄えられている状態で下側極板を押さえておき,上側極板に外力を加えて極板間隔を$d\to d+\varDelta x$にゆっくり(つまり,つり合いを保ちながら)移動させる問題があるよね?

外力がする仕事を聞かることが多いと思うんだけど,このとき,コンデンサーの静電エネルギー変化を$\varDelta U$,外力がした仕事を$W_{外力}$として

$\varDelta U=W_{外力}$ $\cdots (\ast)$

の関係から計算するみたいなんだけど,極板には,静電気力もはたらいていて,負の仕事をしているはずだよね?

なんで静電気力がする仕事$W_{静電気}$を$(\ast)$に入れて

$\varDelta U=W_{外力}+W_{静電気}$

としないんだろう??

(静電気力のよる位置エネルギー変化)$=-$(静電気力がする仕事)

PHYさん
PHYさん

が成り立つからです.

同じように,力学では次の関係が成り立ちます.

(重力の位置エネルギー変化)$=-$(重力がした仕事)

NEKO
NEKO

重力は正の仕事をしてしまう分,ポテンシャル(潜在的なエネルギー)が失われてしまうという話だね.

たしか,一般的に次の関係が成り立つんだったね.

(位置エネルギーの変化)$=-$(保存力がする仕事)

PHYさん
PHYさん

はい.保存力,具体的には重力や弾性力,静電気力などの仕事をエネルギーとして考えるという話です.

NEKO
NEKO

え?もしかして,コンデンサーの静電エネルギーって,静電気力による位置エネルギーのことだったの??

PHYさん
PHYさん

そうです.

コンデンサーの場合,電位の基準点は無限遠ではなく,片一方(電荷が負の方)の電位を$0$として考えているはずです.実際,静電エネルギーの式の証明問題は入試でときどきみかけます.そのときに,$U=qV$の静電気力による位置エネルギー変化を考えているはずです.

NEKO
NEKO

つまり,次の式から

$\varDelta U=W_{外力}$

が説明できるんだね.

★ 極板に関して,運動エネルギー変化が$0$だから,

$0=W_{静電気}+W_{外力}$ $\cdots (2\ast)$

★ (位置エネルギーの変化)$=-$(保存力がする仕事)の関係より

$\varDelta U=-W_{静電気}$ $\cdots (3\ast)$

★ $(2\ast),(3\ast)$より,$W_{静電気}$を消去して

$\varDelta U=W_{外力}$

NEKO
NEKO

ちなみに,電池をつないで,コンデンサーの極板に力を加えゆっくりと動かしたときのエネルギーの関係は次のでいいのかな?

外力がした仕事を$W_{外力}$,静電気力がした仕事を$W_{静電気}$,電池がした仕事を$W_{電池}$,静電エネルギーの変化を$\varDelta U$とすると

$0=W_{静電気}+W_{外力}+W_{電池}$

$W_{静電気力}=-\varDelta U$

以上2式より

$\varDelta U=W_{外力}+W_{電池}$

PHYさん
PHYさん

はい.そういうことになります.

静電気力による位置エネルギーを入れて考えるので,静電気力がする仕事が消えるわけです.

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