＜問題＞
<解答>
(1)
等速円運動をしているので，向心方向の運動方程式を立てる．万有引力が向心力です．以後，物体の質量を$m$としましょう．
等速円運動の問題で立てて欲しい2式
- 向心方向の運動方程式
- 周期の式
半径$r$，円運動の接線方向の速さを$v$，角速度を$\omega$とすると，向心加速度の大きさ$a$は
$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$
向心加速度の向きは円運動の中心
★ 向心方向の運動方程式
$m\dfrac{v_{1}^{2}}{R}=G\dfrac{Mm}{R^{2}}$ $\therefore\,\, v_{1}=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$ (答)
(2)(3)(4)
緯度が$\theta^{\circ}$のときの円運動（下図の青色部分を円運動する）の半径は$R\cos\theta$になる．
角速度$\omega$，円運動の中心からの距離が$r$での速さは$v=r\omega$なので，緯度$\theta^{\circ}$の場所では，地球は$(R\cos\theta)\times \omega=R\omega \cos\theta$の速さで自転する．
上図の矢印の方向を速度の正の向きとします．地球の外で静止した人からみた地球上で静止した観測者の速度は$R\omega\cos\theta$であり，物体が円運動するために必要な速度は(1)より，$\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$なので，地球上で静止した観測者からみた物体の初速度$v$は
$R\omega\cos\theta+v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$ $\therefore\,\, v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}-R\omega\cos\theta$
$v$を最小にすれば，物体を投げ出すエネルギーが小さくて済む．これは$\cos\theta=1$のときであるから，$\theta=0^{\circ}$の場所で上図の正方向に投げるのがよい．（逆方向に投げ出すと，地球の自転速度に逆らってしまうので，初速度を大きくしなくてはいけない．）
つまり，$\theta=0^{\circ}$ (2)の(答)で自転の方向，つまり西から東の方向 (3)の(答)に投げ出せばよい．その速さは
$v_{2}=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}-R\omega$ (4)の(答)
ちなみに$\theta$が0°以外のところでは投げ出した後も大変である．万有引力の方向と円運動の中心方向が一致しないためである．
コメント