[標準]単振動の演習問題④　板と物体の運動2

[標準]単振動の演習問題③　板と物体の運動1

NEKO今回から再び単振動の問題を扱います．その中でもよく出てくる板と物体の運動です．板と物体が接触している状態で単振動をし，ある場所で物体が離れて板のみで単振動をします．しかし，基本の考え方は同じです．運動方程式を立てる．中心の位置，角振...

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2020.09.01

<解答>

(1)　

つりあっているときに物体系を板と物体とすれば，鉛直下向きに$(M+m)g$の重力と鉛直上向きに$k\varDelta y$の弾性力がかかります．つり合いの式より

$k\varDelta y =(M+m)g$　$\therefore$　$\varDelta y=\dfrac{M+m}{k}g$

(2)　

板には鉛直下向きに$Mg$，板と物体の間にはたらく垂直抗力$N$が鉛直下向きにはたらきます．また，上図では自然長より縮んでいるときのことを考えているので，鉛直上向きに弾性力がはたらきます．弾性力の大きさにも注意です．この問題では，つり合いの位置を原点にとっているため，弾性力の大きさは$k(-y)$ではありません．自然長からの距離が$\varDelta y-y$のため，弾性力の大きさは$k\left(\dfrac{M+m}{k}g-y\right)$となります．

一方，物体にははたらく力は重力と垂直抗力のみです．弾性力がはたらかないことに注意しましょう．

以上より運動方程式は

板：$Ma=k\left(\dfrac{M+m}{k}g-y\right)-Mg-N$　$\dots　(\ast)$

物体：$ma=N-mg$　$\dots　(2\ast)$

(3)　$(\ast)$と$(2\ast)$を足して，$N$を消去すると

$(M+m)a=-ky$　

$\therefore　a=-\dfrac{k}{M+m}y$　$\dots　(3\ast)$

これを$(2\ast)$に代入して，$N$を求めると

$\eqalign{N&=ma+mg\\&=m\cdot \left(-\dfrac{k}{M+m}y\right)+mg\\&=-\dfrac{mk}{M+m}y+mg}$

したがって，$N=$$-\dfrac{mk}{M+m}y+mg$

(4)　$(3\ast)$より，振動の中心は$x_{0}=0$，角振動数は$\omega_{1}=\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}$，周期は$T_{1}=2\pi \sqrt{\dfrac{M+m}{k}}$ということを確認できます．

また，$y=-2\varDelta y=-\dfrac{2(M+m)}{k}g$から速度0でスタートしているので，振幅は$\dfrac{2(M+m)}{k}g$です．

$-\cos$型であることに注意して

$y=$$-\dfrac{2(M+m)}{k}g\cos\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}$

(5)　$N=0$のとき，(3)の$N=-\dfrac{mk}{M+m}y+mg$より

$0=-\dfrac{mk}{M+m}y+mg$

$\therefore y=\dfrac{M+m}{k}g$

すなわち自然長で離れます．

$y=\dfrac{M+m}{k}g$を$y=-\dfrac{2(M+m)}{k}g\cos\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}$に代入して一番小さい$t$を求めると

$\eqalign{\dfrac{M+m}{k}g&=-\dfrac{2(M+m)}{k}g\cos\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}\cr \cos\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}&=-\dfrac{1}{2}}$

$\therefore　\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t=\dfrac{2\pi}{3}$

したがって，$t=$$\dfrac{2\pi}{3}\sqrt{\dfrac{M+m}{k}}$

(6)　$y=-\dfrac{2(M+m)}{k}g\cos\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}$を$t$で微分すると速度$v$が計算できます．

$\eqalign{v&=\dfrac{dy}{dt}\\&=-\dfrac{2(M+m)}{k}g\cdot \left(\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right)^{\prime}\cdot \left(-\sin\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}\right)\\&=\dfrac{2(M+m)}{k}g\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}\sin\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}\\&=2g\sqrt{\dfrac{M+m}{k}}\sin\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}}$

したがって，$v=$$2g\sqrt{\dfrac{M+m}{k}}\sin\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}t\right\}$

(7)　(6)の結果に，(5)の$t=\dfrac{2\pi}{3}\sqrt{\dfrac{M+m}{k}}$を代入して

$\eqalign{V&=2g\sqrt{\dfrac{M+m}{k}}\sin\left\{\sqrt{\dfrac{k}{M+m}}\cdot \dfrac{2\pi}{3}\sqrt{\dfrac{M+m}{k}}\right\}\\&=g\sqrt{\dfrac{3(M+m)}{k}}}$

したがって，$V=$$g\sqrt{\dfrac{3(M+m)}{k}}$