[標準]単振動の演習問題⑤　単振動のエネルギー保存

[標準]単振動の演習問題④　板と物体の運動2

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2020.09.03

<準備>

時刻$t$において物体の座標が$x$，速度が$v$，加速度が$a$のとき，次の関係が成り立ちます．

$va=\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}v^2)$，$vx=\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}x^2)$

理由は，実際にそれぞれの右辺を計算してみればよいでしょう．

$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}v^2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2v\cdot a=va$

$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}x^2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2x\cdot v=va$

この計算は合成関数の微分を使っています．また，$\dfrac{dv}{dt}=a$，$\dfrac{dx}{dt}=v$も使いました．ちなみに，次のような形にも変形できます．

$v(x-x_0)=\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}(x-x_{0})^2)$

こちらも確認しておきましょう．

$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}(x-x_{0})^2)=\dfrac{1}{2}\cdot 2(x-x_0)v=v(x-x_0)$

<変形の仕方>

運動方程式$ma=-k(x-x_{0})$の両辺に$v$をかけます．（正確には内積をとる）

$mva=-kv(x-x_0)$

ここで<準備>で確認した変形をします．$m$や$v$も中に入れてしまいましょう．

$\eqalign{\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}mv^2)&=-\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}k(x-x_0)^2)\cr\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(x-x_0)^2)&=0\cr \dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(x-x_0)^2)&=一定}$

これで完成です．さて，割と複雑な変形なので，問題を解くときにこれを頭を使って計算したのでは大変です．なので，運動方程式

$ma=-k(x-x_0)$

の形をみたら

$\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(x-x_0)^2=$一定

と変形できるということをあらかじめ覚えておくとよいでしょう．

それでは，変形の練習です．

<解答>

(1)　$\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kx^2=$一定

(2)　$\dfrac{1}{2}Mv^2+\dfrac{1}{2}k(x-\dfrac{Mg}{k})^2=$一定

(3)　$\dfrac{1}{2}(M+m)v^2+\dfrac{1}{2}k(x-\dfrac{M+m}{k}g)^2=$一定

(4)　$\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}k(x-\dfrac{\mu mg}{k})^2=$一定

(5)　$\dfrac{1}{2}\rho Sh v^2+\dfrac{1}{2}\rho_{0}Sgx^2=$一定