twitterの問題63解答　$F-t$グラフから反発係数を求める．

<問題>

<解答>

(1)　求める速さを$v$として，力学的エネルギー保存則より

$\dfrac{1}{2}m\textcolor{blue}{v^{2}}=mgh$　$\therefore\,\, \textcolor{blue}{v}=\sqrt{2gh}$ (答)

(2)　時刻$0$から時刻$T$までの小球の運動量変化と力積の関係式を立てる．ベクトルの式は正の方向を設定することを忘れないようにしましょう．今回は鉛直下向きを正とします．

まず，重力の力積は

$mgT$

であり，床から受ける力積は$F-t$グラフの面積を考えて計算をする．鉛直下向きを正としたことに気をつけて

$-\dfrac{1}{2}\times T\times F=-\dfrac{1}{2}FT$

時刻$0$で小球の速度が$0$になると書かれているので，運動量変化と力積の式より

\begin{align} &m\times 0-m\times \sqrt{2gh}=mgT-\dfrac{1}{2}\textcolor{blue}{F}T\\ &\therefore\,\, \textcolor{blue}{F}=2m\left(g+\dfrac{\sqrt{2gh}}{T}\right)　\textcolor{red}{\bf{(答)}} \end{align}

(3)　反発係数を求めるには，床と離れた直後の速さ$v’$を求めればよい．速さ$v’$がわかれば，反発係数を$e$として

$e=\dfrac{v’}{v}$　$\cdots (\ast)$

で求めることができる．（なぜ，「$-$」をつけないのかと疑問に思う人もいるかと思うので説明しておくと，反発係数は衝突前後の相対速度の大きさの比で定義されているので，「相対速度の大きさ」を用いるのあれば，「$-$」はいらない．）

$v’$を求めるために，時刻$T$から時刻$\dfrac{3}{2}T$までの小球の運動量変化と力積の関係式を立てる．今度は鉛直上向きを正としよう．重力の力積は

$-mg\times \dfrac{1}{2}T=-\dfrac{1}{2}mgT$

床が小球におよぼす力積は，$F-t$グラフの面積を考えて

$\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}T\times F=\dfrac{1}{4}FT$

したがって，運動量変化と力積の式より

\begin{align} &m\textcolor{blue}{v’}-m\times 0=\dfrac{1}{4}FT-\dfrac{1}{2}mgT\\ &\therefore\,\, \textcolor{blue}{v’}=\dfrac{1}{4m}FT-\dfrac{1}{2}gT \end{align}

(2)で求めた，$F=2m\left(g+\dfrac{\sqrt{2gh}}{T}\right)$を代入して

\begin{align} \textcolor{blue}{v’}&=\dfrac{T}{4\cancel{m}}\times 2\cancel{m}\left(g+\dfrac{\sqrt{2gh}}{T}\right)-\dfrac{1}{2}gT\\ &=\dfrac{\sqrt{2gh}}{2} \end{align}

$v’=\dfrac{\sqrt{2gh}}{2}$と$v=\sqrt{2gh}$を$(\ast)$に代入して

$e=\dfrac{v’}{v}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2gh}}{2}}{\sqrt{2gh}}=\dfrac{1}{2}$ (答)