今回は，過去15年で出題された「ソレノイドコイル」の相互インダクタンスを求める問題を扱うシリーズです．
相互インダクタンスは基本的に次のように求めるとよいでしょう．
ソレノイドコイル1が電流を流し，ソレノイドコイル2に生じる誘導起電力を考える．
コイル2の巻き数を$N_{2}$とする．コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V_{2}$は，時間$\varDelta t$の間にコイル2内部の磁束が$\varDelta \varPhi_{2}$変化したとき
$V_{2}=N_{2}|\frac{\varDelta \varPhi_{2}}{\varDelta t}|$ $\dots (\sharp)$
である．$\varPhi_{2}$はコイル1によって作られた磁束密度を$B_{1}$，コイル2の断面積を$S_{2}$とする．(ちなみに，コイル1とコイル2の軸は平行であるとする．)このとき，
$\varPhi_{2}=B_{1}S_{2}$ $\dots (2\sharp)$
透磁率を$\mu$，コイル1がつくる磁場を$H_{1}$とすると
$B_{1}=\mu H_{1}$ $\dots (3\sharp)$
であり，コイル1の長さを$l_{1}$，巻き数を$N_{1}$（単位長さ当たりの巻き数を$n_{1}=\dfrac{N_{1}}{l_{1}}$）とすると，ソレノイドコイル1に電流$i_{1}$を流したときにコイル内部に生じる磁場$H_{1}$は
$H_{1}=\dfrac{N_{1}}{l_{1}}i_{1}=n_{1}i_{1}$ $\dots (4\sharp)$
$(2\sharp)$から$(4\sharp)$を$(\sharp)$に代入する
$(4\sharp)$を$(3\sharp)$に代入して（以後，$n_{1}$を採用して計算する．）
$B_{1}=\mu\cdot n_{1}i_{1}$
これを$(2\sharp)$に代入して
$\varPhi_{2}=\mu n_{1}S_{2}i_{1}$
さらにこれを$(\sharp)$に代入して
$\eqalign{V_{2}&=N_{2}\left|\dfrac{\varDelta ( \mu n_{1}S_{2}i_{1} )}{\varDelta t}\right|\\&=\mu n_{1}N_{2}S_{2}\left|\dfrac{\varDelta i_{1}}{\varDelta t}\right|}$
上式の$\left|\dfrac{\varDelta i_{1}}{\varDelta t}\right|$の正の比例定数が相互インダクタンスである．(ここでは，$ \mu n_{1}N_{2}S_{2} $)
$\varPhi$を求めて，ファラデーの法則に代入して，$\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}$の正の比例定数を求めればいいだね．
(1) ソレノイドコイルAとソレノイドコイルBはともに断面積$S$の鉄心にまかれており(以下，単にコイルA，コイルBとする．)，コイルAは，巻き数が$N_{\rm A}$，長さが$l_{\rm A}$，コイルBは巻き数$N_{\rm B}$，長さ$l_{\rm B}$であり，$l_{\rm A}>l_{\rm B}$である．コイルAは十分長く，コイルAに電流を流すとコイルA内部は一様な磁場ができる．コイルAによってつくられた磁束はすべてコイルBを貫くとする．透磁率を$\mu$として，コイルAとコイルBの相互インダクタンス$M$を求めよ．
(2) ソレノイドコイルAとソレノイドコイルBはともに断面積$S$の鉄心にまかれており(以下，単にコイルA，コイルBとする．)， コイルAは，巻き数が$N_{\rm A}$，長さが$l_{\rm A}$，コイルBは単位長さあたりの巻き数$n_{\rm B}$，コイルの長さは$l_{\rm B}$であり，$l_{\rm A}>l_{\rm B}$である．コイルAは十分長く，コイルAに電流を流すとコイルA内部は一様な磁場ができる．コイルAによってつくられた磁束はすべてコイルBを貫くとする．透磁率を$\mu$として，コイルAとコイルBの相互インダクタンス $M$ を求めよ．
(3) ソレノイドコイルAとソレノイドコイルBはともに断面積$S$の鉄心にまかれており(以下，単にコイルA，コイルBとする．)， コイルAは，単位長さあたりの巻き数が$n_{\rm A}$，長さが$l_{\rm A}$，コイルBは単位長さあたりの巻き数$n_{\rm B}$，コイルの長さは$l_{\rm B}$であり，$l_{\rm A}>l_{\rm B}$である．コイルAは十分長く，コイルAに電流を流すとコイルA内部は一様な磁場ができる．コイルAによってつくられた磁束はすべてコイルBを貫くとする．透磁率を$\mu$として，コイルAとコイルBの相互インダクタンス $M$ を求めよ．
(1)から(3)はほぼ同じだね．．何が違うんだろう？？
与えらているのが，「総巻き数」なのか「単位長さあたりの巻き数」なのかの違いですね．
総巻き数を$N$，長さを$l$，単位長さあたりの巻き数を$n$とすると
$n=\dfrac{N}{l}$
の関係があります．
ファラデーの法則の
$V=N|\dfrac{\varDelta \varPhi}{\varDelta t}|$
の$N$は総巻き数で，ソレノイドコイルに電流$i$を流したときに内部に生じる磁場$H$の
$H=ni$
の$n$は単位長さあたりの巻き数です．
この2つの違いに注意して問題を解きましょう．
また，相互インダクタンスを求める際はいずれもコイルAに電流を流したときのことを考えましょう．
え？なんで？たしか，相互インダクタンスはコイルAに電流を流して考えてもコイルBに電流を流して考えても同じになるって聞いたことがあるけど．．
コイルBに電流を流した場合，コイルBの外においては，$H=ni$の計算ができないからです．実際の入試問題では，「コイルAに電流を流す」と誘導されているので心配はいりませんが．
(1)
コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は
$H_{\rm A}=\dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}$
したがって，磁束密度$B_{\rm A}$は
$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}}$
さらに，コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は
$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S\\ &= \mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S}{l_{\rm A}}i_{\rm A} }$
したがって，$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき，コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は
$\eqalign{V&=N_{\rm B}\dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&=N_{\rm B}\cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S}{l_{\rm A}}i_{\rm A}\right) \\&=\mu \dfrac{N_{\rm A}N_{\rm B}S}{l_{\rm A}}\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$
したがって，相互インダクタンスは
$M= \mu \dfrac{N_{\rm A}N_{\rm B}S}{l_{\rm A}} $ (答)
(2)
コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は
$H_{\rm A}=\dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}$
したがって，磁束密度$B_{\rm A}$は
$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}}{l_{\rm A}}i_{\rm A}}$
さらに，コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は
$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S\\ &= \mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S}{l_{\rm A}}i_{\rm A} }$
コイルの総巻き数は$n_{\rm B}l_{\rm B}$である．したがって，$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき，コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は
$\eqalign{V&= n_{\rm B}l_{\rm B} \dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&= n_{\rm B}l_{\rm B} \cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot \dfrac{N_{\rm A}S}{l_{\rm A}}i_{\rm A}\right) \\&=\mu \dfrac{N_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B} S}{l_{\rm A}}\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$
したがって，相互インダクタンスは
$M= \mu \dfrac{N_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B} S}{l_{\rm A}} $ (答)
(3)
コイルAに電流$i_{\rm A}$を流すとコイルA内の磁場$H_{\rm A}$は
$H_{\rm A}=n_{\rm A}i_{\rm A}$
したがって，磁束密度$B_{\rm A}$は
$\eqalign{B_{\rm A}&=\mu H_{\rm A}\\ &=\mu \cdot n_{\rm A}i_{\rm A}}$
さらに，コイルBを貫く磁束$\varPhi_{\rm B}$は
$\eqalign{\varPhi_{\rm B}&=B_{\rm A}\cdot S\\ &= \mu \cdot n_{\rm A}Si_{\rm A} }$
コイルの総巻き数は$n_{\rm B}l_{\rm B}$である．したがって，$\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}>0$のとき，コイル2に生じる誘導起電力の大きさ$V$は
$\eqalign{V&= n_{\rm B}l_{\rm B} \dfrac{\varDelta \varPhi_{B}}{\varDelta t}\\&= n_{\rm B}l_{\rm B} \cdot \dfrac{\varDelta }{\varDelta t}\left(\mu \cdot n_{\rm A}Si_{\rm A}\right) \\&=\mu n_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B}S\dfrac{\varDelta i_{\rm A}}{\varDelta t}}$
したがって，相互インダクタンスは
$M= \mu n_{\rm A} n_{\rm B}l_{\rm B}S $ (答)
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